Niecałkowity iloraz
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11263
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3140 razy
- Pomógł: 747 razy
Niecałkowity iloraz
Niech \(\displaystyle{ x, y }\) będą różnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{x^2+4xy+y^2}{x^3-y^3} }\) nie jest liczbą całkowitą.
-
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 445 razy
Re: Niecałkowity iloraz
Przypuśćmy wbrew tezie, że \(\frac{x^2+4xy+y^2}{x^3-y^3}=k\in\mathbb{Z}\), tzn. że \(\frac{x^2+xy+y^2+3xy}{x^2+xy+y^2}=k(x-y)\in\mathbb{Z}\), czyli że \(\frac{3xy}{x^2+xy+y^2}=k(x-y)-1\in\mathbb{Z}\). To jest sprzeczność, bo z założeń wynika \(0<\frac{3xy}{(x-y)^2+3xy}<1\).