Dowieść, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają warunki
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{y}=y+ \frac{1}{z}=z+ \frac{1}{x}}\),
to \(\displaystyle{ xyz=1}\) lub \(\displaystyle{ xyz=-1}\) lub \(\displaystyle{ x=y=z}\).
Liczby x,y,z
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Liczby x,y,z
\(\displaystyle{ x+\frac{1}{y} = y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x} \\ \\ \iff \\ \\ \frac{x^2yz+xz}{xyz} = \frac{xy^2z+xy}{xyz} = \frac{xyz^2+yz}{xyz} \\ \\ \iff \\ \\ \begin{cases} x^2yz+xz = xy^2z+xy \\ xy^2z+xy = xyz^2+yz \\ x^2yz+xz = xyz^2+yz \end{cases}}\)
Pierwsze równanie jest równoważne:
\(\displaystyle{ xyz(x-y) = x(y-z) \iff yz(x-y) = y-z}\) (ponieważ \(\displaystyle{ x,y,z \neq 0}\))
Analogicznie (z 2 i 3 równania) otrzymujemy 2 podobne równości:
\(\displaystyle{ xz(y-z) = z-x \\ \\ xy(x-z) = y-x}\)
Mnożąc te 3 równania stronami dostajemy:
\(\displaystyle{ x^2y^2z^2(x-y)(x-z)(y-z) = (y-z)(z-x)(y-x) \\ \\ \iff \\ \\ (x^2y^2z^2-1)(x-y)(x-z)(y-z)=0}\)
Co jest równoważne tezie.
Pierwsze równanie jest równoważne:
\(\displaystyle{ xyz(x-y) = x(y-z) \iff yz(x-y) = y-z}\) (ponieważ \(\displaystyle{ x,y,z \neq 0}\))
Analogicznie (z 2 i 3 równania) otrzymujemy 2 podobne równości:
\(\displaystyle{ xz(y-z) = z-x \\ \\ xy(x-z) = y-x}\)
Mnożąc te 3 równania stronami dostajemy:
\(\displaystyle{ x^2y^2z^2(x-y)(x-z)(y-z) = (y-z)(z-x)(y-x) \\ \\ \iff \\ \\ (x^2y^2z^2-1)(x-y)(x-z)(y-z)=0}\)
Co jest równoważne tezie.