Liczby w tablicy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11473
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Liczby w tablicy
Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie liczbą z lewostronnie nieskończonej tabeli
\(\displaystyle{ * \ * \ 5 \\
\ \ \ \ \ \ 25 \\
* \ 625 \\
................}\)
i) \(\displaystyle{ d = ....90625}\) - lewy skos zaczynający się od cyfry \(\displaystyle{ 5}\) / tj . liczba o nieskończonej ilości cyfr/ jest taka, że \(\displaystyle{ d^2=d}\) oraz
ii) tę samą własność ma liczba \(\displaystyle{ e=1-d = ....09376}\), tj. \(\displaystyle{ e^2=e}\)
iii) \(\displaystyle{ de=0}\)
W tabeli w każdym wierszu jest kwadrat liczby poprzedniej (wierszu powyżej) i \(\displaystyle{ n}\) ta i \(\displaystyle{ n+1}\) liczba liczba tablicy te liczby mają jednakowe \(\displaystyle{ n}\) ostatnich cyfr/
\(\displaystyle{ * \ * \ 5 \\
\ \ \ \ \ \ 25 \\
* \ 625 \\
................}\)
i) \(\displaystyle{ d = ....90625}\) - lewy skos zaczynający się od cyfry \(\displaystyle{ 5}\) / tj . liczba o nieskończonej ilości cyfr/ jest taka, że \(\displaystyle{ d^2=d}\) oraz
ii) tę samą własność ma liczba \(\displaystyle{ e=1-d = ....09376}\), tj. \(\displaystyle{ e^2=e}\)
iii) \(\displaystyle{ de=0}\)
W tabeli w każdym wierszu jest kwadrat liczby poprzedniej (wierszu powyżej) i \(\displaystyle{ n}\) ta i \(\displaystyle{ n+1}\) liczba liczba tablicy te liczby mają jednakowe \(\displaystyle{ n}\) ostatnich cyfr/
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Liczby w tablicy
Gwoli ścisłości - wszystko odbywa się w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10} = \projlim_{n \in \mathbb{N}} \big( \mathbb{Z} / 10^n \mathbb{Z} \big)}\) (liczby \(\displaystyle{ 10}\)-adyczne całkowite).
Ostatnio zmieniony 16 sty 2024, o 06:44 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11473
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Liczby w tablicy
Udowodnić też, że tylko \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ e}\) (poza zerem i jedynką ) mają tę własność.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Liczby w tablicy
Ciekawostką jest też, że jeżeli weźmiemy potęgi \(\displaystyle{ 5}\):
\(\displaystyle{ 5=101_{2} }\)
\(\displaystyle{ 5^{2^1}=11001_{2} }\)
\(\displaystyle{ 5^{2^2}=1001110001_{2} }\)
........................
\(\displaystyle{ 5^{2^n} \rightarrow ...........00000..........01_{2}}\)
w systemie dwójkowym
\(\displaystyle{ Z_{10}=Z_{5} \times Z_{2} }\) - adycznie
ale \(\displaystyle{ 2^{5^n}}\) już tak ładnie się nie stabilizuje w piątkowym systemie...
więc:
\(\displaystyle{ \left( 2^{5^n} , 2^{5^n}\right) \rightarrow \left( a_{5},0 \right)=A }\)
\(\displaystyle{ \left( 5^{2^n} , 5^{2^n}\right) \rightarrow \left( 0,1 \right)=B }\)
więc:
\(\displaystyle{ A \cdot B=0 }\)
Gorzej pokazać, że są to jedyne takie granice...
ale szesnastka się ładnie stabilizuje w \(\displaystyle{ Z_{5}}\)
I jej granica dąży do jedynki...
czyli:
\(\displaystyle{ 16^{5^n} \rightarrow 1=C}\)
Co daje:
\(\displaystyle{ B+C=1}\)
co rozjaśnia sprawę, ale tajemnicą la mnie jest czemu to szesnastka się stabilizuje a nie dwójka...
Aneks:
\(\displaystyle{ 5=101_{2} }\)
\(\displaystyle{ 5^{2^1}=11001_{2} }\)
\(\displaystyle{ 5^{2^2}=1001110001_{2} }\)
........................
\(\displaystyle{ 5^{2^n} \rightarrow ...........00000..........01_{2}}\)
w systemie dwójkowym
\(\displaystyle{ Z_{10}=Z_{5} \times Z_{2} }\) - adycznie
ale \(\displaystyle{ 2^{5^n}}\) już tak ładnie się nie stabilizuje w piątkowym systemie...
więc:
\(\displaystyle{ \left( 2^{5^n} , 2^{5^n}\right) \rightarrow \left( a_{5},0 \right)=A }\)
\(\displaystyle{ \left( 5^{2^n} , 5^{2^n}\right) \rightarrow \left( 0,1 \right)=B }\)
więc:
\(\displaystyle{ A \cdot B=0 }\)
Gorzej pokazać, że są to jedyne takie granice...
ale szesnastka się ładnie stabilizuje w \(\displaystyle{ Z_{5}}\)
I jej granica dąży do jedynki...
czyli:
\(\displaystyle{ 16^{5^n} \rightarrow 1=C}\)
Co daje:
\(\displaystyle{ B+C=1}\)
co rozjaśnia sprawę, ale tajemnicą la mnie jest czemu to szesnastka się stabilizuje a nie dwójka...
Aneks:
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 15 sty 2024, o 22:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
-
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 13 lis 2022, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 26
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Liczby w tablicy
Co to \(\displaystyle{ \projlim_{n \in \mathbb{N}}}\)? Bo nie mogę znaleźć w Internecie, pewnie nie wiem jak szukać.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: Liczby w tablicy
Pytanie jest chyba raczej o \(\displaystyle{ \projlim_{n \in \mathbb{N}} \big( \mathbb{Z} / 10^n \mathbb{Z} \big)}\). Może chodzi o granicę rzutową?
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_limit#Mittag-Leffler_condition
Kod: Zaznacz cały
https://math.berkeley.edu/~gbergman/245/3.2.pdf
na str. 299.
Ostatnio zmieniony 17 sty 2024, o 06:44 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Usunięto aktywne linki do stron zewnętrznych!
Powód: Usunięto aktywne linki do stron zewnętrznych!
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Liczby w tablicy
Granica odwrotna. System odwrotny składa się z pierścieni \(\displaystyle{ R_i = \ZZ / 10^i \ZZ}\) indeksowanych liczbami naturalnymi i homomorfizmów \(\displaystyle{ f_{ij} : R_j \to R_i}\), \(\displaystyle{ f_{ij}(x) = x \bmod 10^i}\) dla \(\displaystyle{ i \le j}\). Pierścień \(\displaystyle{ \ZZ_{10}}\) jest granicą odwrotną tego systemu. Jednocześnie można traktować \(\displaystyle{ R_i}\) jako przestrzenie topologiczne dyskretne (skończone, a więc zwarte), a \(\displaystyle{ f_{ij}}\) jako ciągłe surjekcje, co czyni z \(\displaystyle{ \ZZ_{10}}\) również przestrzeń zwartą.
Intuicyjnie zaś \(\displaystyle{ \ZZ_{10}}\) składa się z takich uogólnionych liczb całkowitych, które dane są przez swoje nieskończone rozwinięcia w systemie dziesiątkowym. Dodaje się je i mnoży operując na cyfrach tak jak dla zwykłych liczb całkowitych.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11473
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Liczby w tablicy
I Udowodnić też, że \(\displaystyle{ d}\) jest nieodwracalne (nie istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie, że \(\displaystyle{ xd=1}\)).
- Załączniki
-
- pij.jpg (11.49 KiB) Przejrzano 163 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Liczby w tablicy
jest to element Idempotentny, czyli dzielnik zera...
Tylko w przestrzeniach \(\displaystyle{ p}\)-adycznych gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą nie ma dzielników zera...
Tylko w przestrzeniach \(\displaystyle{ p}\)-adycznych gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą nie ma dzielników zera...