Matematyka.pl

Liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) jest smerfastyczna, jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n} } + \sqrt{\sqrt{n+1} + \sqrt{n} } }\) jest liczbą wymierną. Udowodnić, że istniele nieskończenie wiele liczb smerfastycznych.

Zastanawiałem się nad kwadratem tego wyrażenia. Wychodzi mi, że dla liczb o postaci \(\displaystyle{ n=4k^2(k^2-1) \ \ \wedge \ \ k \in \NN}\) wyrażenie przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 2k}\). Wyrażeń z \(\displaystyle{ n=4k^2(k^2-1) }\) jest nieskończenie wiele, więc i liczb smerfastycznych także.