Matematyka.pl

Wykazać, że dla każdej naturalnej \(\displaystyle{ n>2}\) liczby
\(\displaystyle{ a=2 ^{n}+1}\), \(\displaystyle{ b=2 ^{n}-1}\) nie mogą być jednocześnie liczbami pierwszymi.

Sprawdź reszty z dzielenia przez 3. Wtedy zauważysz, że jedna z nich jest podzielna zawsze przez 3.

PS.
Wystarczy zauważyć, ze wśród dwóch kolejnych liczb nieparzystych a z takimi amy do czynienia jedna dzieli sie przez 3.

A co sądzisz o 5 i 7?

Artist pisze:dwóch kolejnych liczb nieparzystych a z takimi amy do czynienia jedna dzieli sie przez 3

5, 7? . Chyba chciałeś napisać, że jeśli x nie dzieli się przez 3, to jedna z liczb x-1, x+1 dzieli się przez 3 (gdy x jest całkowite).

A rzeczywiście. Zapędziłem się trochę.

Wasilewski pisze:A co sądzisz o 5 i 7?

\(\displaystyle{ 2^n \ne 6, \ n \mathbb{N}}\)

Żeby \(\displaystyle{ 2^n-1}\) było liczbą pierwszą (Mersenne'a), \(\displaystyle{ n}\) musi być liczbą pierwszą,
aby \(\displaystyle{ 2^n+1}\) było liczbą pierwszą (Fermata) \(\displaystyle{ n}\) musi być postaci \(\displaystyle{ 2^k}\).