Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ n}\), dla których liczba \(\displaystyle{ 14^{n} - 9}\) jest pierwsza.

Wskazówka: rozważ osobno parzyste i nieparzyste \(\displaystyle{ n}\).

Dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych różnica kwadratów.
Dla nieparzystych warto sprawdzić podzielność przez \(\displaystyle{ 5}\)

Dla \(\displaystyle{ n=2k }\)

\(\displaystyle{ 14 ^{n}-9 = 14 ^{2k}-9 = (14 ^{k}+3)(14 ^{k}-3) }\) - liczba złożona

Dla \(\displaystyle{ n=2k+1 }\)

\(\displaystyle{ 14 ^{n}-9 = 14 ^{2k+1}-9 = 14(14^{2k}) -9 = 14(14^{2k}) -14 + 5 = 14(14^{2k}-1) + 5 = 14 (14 ^{k}+1)(14 ^{k}-1) + 5 }\)

Ostatnia cyfra liczby \(\displaystyle{ 14 ^{k} }\) dla \(\displaystyle{ k=2l+1 }\) nieparzystych wynosi \(\displaystyle{ 4 }\),
natomiast dla \(\displaystyle{ k=2l }\) parzystych wynosi \(\displaystyle{ 6 }\).

Oznacza to, że
\(\displaystyle{ 14 ^{2l+1}+1 = 5m_{1} }\) oraz \(\displaystyle{ 14 ^{2l}-1 = 5m_{2} }\)

Zatem
\(\displaystyle{ 14 (14 ^{k}+1)(14 ^{k}-1) + 5 = 14 (14 ^{2l+1}+1)(14 ^{2l+1}-1) + 5 = 14(14 ^{2l+1}-1)5m_{1}+5= 5[14m_{1}(14 ^{2l+1}-1) +1] }\) - liczba złożona

\(\displaystyle{ 14 (14 ^{k}+1)(14 ^{k}-1) + 5 = 14 (14 ^{2l}+1)(14 ^{2l}-1) + 5 = 14(14 ^{2l}+1)5m_{2}+5= 5[14m_{2}(14 ^{2l}+1) +1] }\) - liczba złożona

Wszystkie liczby \(\displaystyle{ 14 ^{n}-9 }\) są liczbami złożonymi dla \(\displaystyle{ n>1 }\). Jedynie, gdy \(\displaystyle{ n=1 }\) mamy liczbę pierwszą, która wynosi \(\displaystyle{ 5}\).