Matematyka.pl

Udowodnić, że nie istnieją liczby pierwsze \(\displaystyle{ p, q}\) i (\(\displaystyle{ p \neq q}\)) takie, że \(\displaystyle{ 2^p+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ q}\), zaś \(\displaystyle{ 2^q+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\).

Z założeń wynika, że liczby \(\displaystyle{ p,q}\) są nieparzyste. Gdyby też np. \(\displaystyle{ p=3}\), to mielibyśmy, że \(\displaystyle{ q}\) dzieli \(\displaystyle{ 2^3+1=9}\), czyli \(\displaystyle{ q=3=p}\) - sprzeczność z założeniem \(\displaystyle{ p \neq q}\)

Zakładamy dalej, że \(\displaystyle{ p,q>3}\). Z założeń wynika, że
\(\displaystyle{ 2^{2p} \equiv 1 \pmod q}\).
Ponadto \(\displaystyle{ 2^2 }\) nie daje reszty \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ q}\) (bo \(\displaystyle{ q \neq 3}\)), zatem rząd \(\displaystyle{ 2}\) modulo \(\displaystyle{ q}\) wynosi dokładnie \(\displaystyle{ 2p}\). Stąd \(\displaystyle{ p}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ q-1}\). Zupełnie analogicznie dowodzimy, że \(\displaystyle{ q}\) dzieli \(\displaystyle{ p-1}\), co jest oczywiście niemożliwe.

A co gdy zmienimy znak?
\(\displaystyle{ 2 ^{p} -1}\) , \(\displaystyle{ 2 ^{q}-1 }\)

Inne pytanie. Czy można zrobić to "na okrągło"
\(\displaystyle{ q}\) dzieli \(\displaystyle{ 2 ^{p} -1}\)
\(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ 2 ^{r} -1}\)
\(\displaystyle{ r}\) dzieli \(\displaystyle{ 2 ^{q} -1}\)
?