Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ m}\) liczby \(\displaystyle{ m^2+1}\) i \(\displaystyle{ (m+2)^2+1}\) są pierwsze ?

Kilka luźnych uwag:
1. \(\displaystyle{ m}\) nie może być liczbą nieparzystą (gdyż dla nieparzystych oba wyrażenia są parzyste).
2. Prócz \(\displaystyle{ m=2}\) dającego liczby 5 i 17, \(\displaystyle{ m}\) musi być postaci \(\displaystyle{ 10n+4}\) (gdyż dla \(\displaystyle{ m=10n}\) lub \(\displaystyle{ m=10n+2}\) lub \(\displaystyle{ m=10n+6}\) lub \(\displaystyle{ m=10n+8}\) przynajmniej jedno z wyrażeń jest podzielne przez 5).
3. Dla \(\displaystyle{ m=10(13k+3)+4}\) lub \(\displaystyle{ m=10(13k+4)+4}\) lub \(\displaystyle{ m=10(13k+8)+4}\) lub \(\displaystyle{ m=10(13k+9)+4}\) jedno z wyrażeń jest podzielne przez 13.
4. Kilka początkowych możliwych \(\displaystyle{ m}\) to: 4, 14, 24, 54, 64, 94, 104, 114, 124, 134, 144, 154, 184, 194,
204, ..., jednak pary liczb pierwszych dają 4, 14, 24, 54, 64, 124, 204, ... .
Intuicja sugeruje mi, że rozwiązań jest nieskończenie wiele (choć będą coraz rzadziej występować) , lecz wiele razy mnie zawiodła.

kerajs pisze: 16 lip 2023, o 16:51 Intuicja sugeruje mi, że rozwiązań jest nieskończenie wiele

Nie wiemy czy jest nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ m^2 + 1}\) (czwarty problem Landaua).

Intuicja moja nie jest podparta rzetelną, podręcznikową wiedzą, ani w średniej, ani na Wydziale Chemii PW teorii liczb nie wykładano. Nie prowadziłem też regularnego, dogłębnego samokształcenia, bo nigdy nie miałem drygu do przysiadania fałdów...

Matmą zainteresowałem się w kontekście kilku raptem, wybranych zagadnień, i choć różne толстые booki o nich są, to moje ADHD było nieprzezwyciężoną przeszkodą do ich zagłębiania. Cóż, żałuję, ale nie nadrabiam i dziś, strajkuję...
Żal mi kilku książek, co to nawet wszedłem w ich posiadanie, lecz jakoś nie wiedza w nich zawarta nie chciała dyfundować do mej głowy... z szuflady! Np. teoria grup. Gdy się zetknąłem, pomyślałem, że ona wyjaśnić musi 3/4 problemów fizyki (też nimi się ekscytuję, i też dość tak, że się wyrażę: platonicznie...). Teoria grup zawiera wszystkie znane symetrie, ale łatwa nie jest, bo dzieje się w przestrzeniach wielowymiarowych, intuicją nic nie wskóra, bo intuicja jest 3D co najwyżej... A niektórych nawet 2D przerasta, mają liniową, czyli jednowymiarową.

Gdzieś się (w kontekście problemu Landaua) natknąłem na zdanie matematyka, i to polskiego, że jeśli coś można powiedzieć o dużym zbiorze wyselekcjonowanych pod pewnym kątem liczb pierwszych, że mają jakąś cechę, właściwość, no i że tych \(\displaystyle{ p-liczb}\) jest, no, \(\displaystyle{ dużo}\) (ha! Pytanie, co to znaczy \(\displaystyle{ dużo?}\)) to nieodmiennie implikuje to pewność (hm?), że jest ich nieskończenie dużo!

No i tu pytanie:
Czy jest znane odwrotne rozwiązanie?
To znaczy, że w świecie matematycznym zaistniała zagadka o ową nieskończoność (słowo zagadka jest kluczowe, bo odrzucamy przykłady przeciwne, ale trywialne), w stosunku do jakiejś cechy / własności \(\displaystyle{ p-liczb,}\) po czym wyszło by, że ich zbiór jest skończony.

Znacie jakiś taki przykład? Byłbym zdziwiony, wielce zdziwiony...

Dodano po 1 godzinie 12 minutach 20 sekundach:

mol_ksiazkowy pisze: 15 lip 2023, o 22:29 Dla jakich \(\displaystyle{ m}\) liczby \(\displaystyle{ m^2+1}\) i \(\displaystyle{ (m+2)^2+1}\) są pierwsze ?

Pytanie ciekawe, rozwiązania szukam w biegu, czyli pisząc niniejsze.
1. Sądzę, że klucz tkwi nie tyle w parzystości, choć oczywiście jest wielce podstawowa, ale...
2. ale wymóg nieparzystości \(\displaystyle{ p-liczb}\) — jest za słaby!
3. Muszą być i niepiątniste, i niesiódmiste, i niejedenastolist(n)e, i...
4. i at infinitum...
5. Ale tu trzeba zaznaczyć, że dla wskazanych w p. 3, a tym bardziej p. 4 właściwości — coraz trudniej znaleźć matematyczną \(\displaystyle{ formułę}\), wzór jakiś, warunek nim wyrażony — aby ogrodzić nim produkowane liczby.
6. Wskazówki na to dostarcza sito Eratostenesa, które można stosować w zasadzie jedynie w przedziale zamkniętym. Choć może być nawet bardzo duży. Lecz nie da się przesieve-ać w nieskończoność, to chyba jasne...
7. Tym niemniej jest bardzo łatwa do stosowania formuła matematyczna, która mówi, że:
— każda p-liczba większa od \(\displaystyle{ 3}\) \(\displaystyle{ sąsiaduje}\) z liczbą podzielną przez iloczyn dwóch najmniejszych p-liczb, czyli \(\displaystyle{ 2 \cdot 3}\)
8. I są dokładnie \(\displaystyle{ dwie}\) kategorie p-liczb, które to spełniają, to jest:
lewa czyli p ≡ 6 → 1 oraz prawa q ≡ 6 → 5 (Jeśli popieprzyłem oznaczenia to wybaczcie, już mi wyleciały z głowy...
9. \(\displaystyle{ szóstka}\) jest kluczowa w badaniu p-liczb a drugiej tak wydajnej \(\displaystyle{ maszynki}\) nie ma.
10. Ale zacznijmy od kwestii \(\displaystyle{ parzystości}\)

jeśli z obu równań mamy otrzymać p-liczby, które parzyste wszak nie są (z wyjątkiem Królowej Parzystości, czyli \(\displaystyle{ dwójki!}\))
to zarówno
a) \(\displaystyle{ m^2}\), jak i
b) \(\displaystyle{ (m + 2)^2}\)
"potrzebne" nam są parzyste. Ale dla b w sposób ewidentny jest to spełnione, gdy spełnione jest dla a!
Mamy więc:
Warunek brzegowy 1: \(\displaystyle{ m}\) musi być liczbą parzystą, a wtedy (jak mówi intuicja) rozwiązań jest \(\displaystyle{ nieskończenie wiele.}\)
Dodajmy sobie dwa nowe
warunki brzegowe
(jakby się ktoś pytał
to... tak! na ochotnika!)
1. Jeśli ich jest nieskończenie wiele, to na pewno nie znajdziemy
największego rozwiązania.
No to w ramach samoutrudniania
podejmijmy wyzwanie śmielsze
i znajdźmy rozwiązanie najmniejsze!

A na razie lekki skręt w bok, odwołujący się do naszej dawno już poznanej \(\displaystyle{ szósteczki }\) ukochanej.
W ramach badania co w niej siedzi — rozkręcamy tę maszynkę na czynniki (nomen-omen) \(\displaystyle{ pierwsze}\), czyli na \(\displaystyle{ dwójką}\) (co do której już pewne spostrzeżenia poczyniliśmy) oraz \(\displaystyle{ trójkę}\)
No i to ona odpowiada za \(\displaystyle{ podzielenie}\) p-liczb na dwie, osobne kategorie:
a) jedne z nich mają tak, że p mod 3 ≡ 1
b) a drugie tak, że q mod 3 ≡ 2

Tu [ dygresja on ]: gdy \(\displaystyle{ idziemy w górę}\), i weźmiemy na tapetę \(\displaystyle{ niepiątnistość}\), to mamy już \(\displaystyle{ cztery}\) różne kategorialnie p-liczby. Każda z tych kategorii daje inny rodzaj \(\displaystyle{ niepiątnistości}\)
p mod 5 ≡ 1 albo 2, albo 3, albo 4
no i konsekwentnie wspinamy się w górę dalej. Rodzajów \(\displaystyle{ niesiódmistości}\) jest już sześć
p mod 7 ≡ 1; 2; 3; 4; 5; lub 6

Ogłonie obowiązuje zasada minus jeden, czyli dla każdej, naprawdę KAŻDEJ \(\displaystyle{ p-liczby}\) istnieje jej odpowiednik "nieparzystości". A takie np. liczby jedenastolist(n)e cechują się po prostu tym, że przez 11 podzielne \(\displaystyle{ są}\). Tak jak parzyste dzielą się przez \(\displaystyle{ dwójkę}\). Zaś \(\displaystyle{ troiste}\) dzielą się przez \(\displaystyle{ 3}\). Co można zapisać tak:
n mod 3 ≡ 0

Luuudzie. Ludzie mój, kochany, i skołowany. parzystość, czy jej zaprzeczeNIE — niczym kategorialnie się nie różni, od podzielnośći przez (dajmy na to) 137. To ciekawa p-liczba bo ona, a raczej jej odwrotność, określa wielkość fizyczną znaną jako \(\displaystyle{ stała. struktury .subtelnej}\)
https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_struktury_subtelnej

Eeeh, odechciało mi się zadanka, moooże jak \(\displaystyle{ se }\) siorbnę herbatki, to tu wrócę...

Dodano po 1 godzinie 41 minutach 3 sekundach:
⁣
⁣
⁣
⁣
⁣
⁣
⁣ Wspomniana stała ma zapis fizyczny
α = e² / (2hcε₀) ≈ \(\displaystyle{ 1/137}\)

gdzie e nie jest liczbą Eulera, lecz ładunkiem elektronu. Większość st. fizycznych ma jednostki, ta zaś, co jest rzadkie — jest liczbą \(\displaystyle{ niemianowaną.}\) No a w związku z tym nasunęła mi się refleksja, i dałem jej wyraz w zakładce [ Dyskusja ] przy tym artykule, że jeśli niemianowana to powinna być dość lakoniczna. Oczekiwałbym zestawu kilku znaków, zpewne z użyciem liczb niewymiernych, takich jak \(\displaystyle{ e}\), π, czy pierwiastek któregoś stopnia, z jakiejś jednocyfrowej liczby naturalnej, preferował bym liczbę \(\displaystyle{ 2}\), lub \(\displaystyle{ 3}\) co najwyżej.
Jej wartość wyrażona za pomocą ułamka piętrowego to ~ \(\displaystyle{ 1/137}\) ale... niedokładnie! Bo zaraz za siódemką jest przecinek, po nim 9 cyfr, a następnie wartość okresowa \(\displaystyle{ (21)}\)
Cóż, wygląda, że jej wartość wyznaczona jest bardzo dokładnie, ale...
Ale czemu jest tak skomplikowana?
Wygląda jakby w ramach prac zleconych wykonał ją jakiś demiurg, będąc kompletnie pijany.
Cóż, liczby e, czy π też proste nie są, ale choć zapis ich żeśmy sobie uprościli, zastępując jednym znakiem / symbolem — ich wartość liczbową, która ma rozwinięcie dziesiętne w nieskończoność. Wiadomo też, że nie ma tam powtarzalnych sekwencji, cyfry wyglądają, jakby ktoś je wylosował, na jakimś niebiańskim kole fortuny. Prawidłowości nie znaleziono, z tego o wiem — żadnych.

To zresztą chyba cecha wszystkich liczb niewymiernych. Eeeeh, mamy to szczęście, że niewiele zagadnień wymaga używania szerokiego ich zakresu. Jeśli już są, to albo to będzie pierwiastek niskiego, góra 3 stopnia z niedużej liczby naturalnej, albo, i to jest najczęstsze \(\displaystyle{ e}\) lub π. To naprawdę zdumiewające, wszak liczb niewymiernych jest nieskończenie\(\displaystyle{ ^2}\) razy więcej, niż wymiernych. A choć zdawać się mogło by, że wymiernych powinno być dramatycznie więcej niż naturalnych, to tak nie jest!

Zaprawdę Panie, dziwny ten świt stworzyłeś...