Proszę o pomoc w dowodach następujących punktów:
1. Jeśli \(\displaystyle{ p>2}\) jest liczbą pierwszą, to dzielniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ M_p}\) są postaci \(\displaystyle{ 8k \pm 1}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \NN}\)
2. Jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczba pierwszą postaci \(\displaystyle{ 8k + 1}\) to \(\displaystyle{ p|M_{4k}}\)
3.Jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczba pierwszą postaci \(\displaystyle{ 8k + 7}\) to \(\displaystyle{ p|M_{4k+3}}\)
4. Istnieje nieskończenie wiele par różnych liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) takich , że \(\displaystyle{ pq| M_{pq-1}}\)
Liczby pierwsze Mersenne'a
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Liczby pierwsze Mersenne'a
Zobaczmy zadanie drugie:
załóżmy, że:
\(\displaystyle{ p=8k+1}\)
Liczby Mersenne'a w zadaniu drugim są postaci:
\(\displaystyle{ 2^{4k}-1}\)
Wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ 2^{4k}-1=0}\), lub:
\(\displaystyle{ 2^{4k}=1}\) w grupie multiplikatywnej \(\displaystyle{ Z^*_{p}}\) modulo p
ale jest twierdzenie wynikające z lematu Gaussa a co za tym idzie z kryterium Eulera, że skoro p jest liczbą pierwszą to:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{p} \right)=(-1)^{ \frac{p^2-1}{8} }=1}\) dla:
\(\displaystyle{ p=8k + 1}\)
Co oznacza, że dwójka jest resztą kwadratową w tej grupie multiplikatywnej, czyli istnieje takie \(\displaystyle{ x}\) należące do tej grupy, że:
\(\displaystyle{ x^2=2}\)
podnieśmy to do potęgi 4k, otrzymamy:
\(\displaystyle{ x^{8k}=2^{4k}}\)
ale:
\(\displaystyle{ x^{8k}=x^{p-1}=1}\) - z Fermata
a co za tym idzie:
\(\displaystyle{ 2^{4k}=1}\)
co dowodzi tezy, podejrzewam ,że z pozostałymi może być podobnie...
A co za tym idzie, że dwójka nie jest pierwiastkiem pierwotnym w tego typu strukturze.
załóżmy, że:
\(\displaystyle{ p=8k+1}\)
Liczby Mersenne'a w zadaniu drugim są postaci:
\(\displaystyle{ 2^{4k}-1}\)
Wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ 2^{4k}-1=0}\), lub:
\(\displaystyle{ 2^{4k}=1}\) w grupie multiplikatywnej \(\displaystyle{ Z^*_{p}}\) modulo p
ale jest twierdzenie wynikające z lematu Gaussa a co za tym idzie z kryterium Eulera, że skoro p jest liczbą pierwszą to:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{p} \right)=(-1)^{ \frac{p^2-1}{8} }=1}\) dla:
\(\displaystyle{ p=8k + 1}\)
Co oznacza, że dwójka jest resztą kwadratową w tej grupie multiplikatywnej, czyli istnieje takie \(\displaystyle{ x}\) należące do tej grupy, że:
\(\displaystyle{ x^2=2}\)
podnieśmy to do potęgi 4k, otrzymamy:
\(\displaystyle{ x^{8k}=2^{4k}}\)
ale:
\(\displaystyle{ x^{8k}=x^{p-1}=1}\) - z Fermata
a co za tym idzie:
\(\displaystyle{ 2^{4k}=1}\)
co dowodzi tezy, podejrzewam ,że z pozostałymi może być podobnie...
A co za tym idzie, że dwójka nie jest pierwiastkiem pierwotnym w tego typu strukturze.