Matematyka.pl

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ a,b,c}\) dla których wyrażenie \(\displaystyle{ b^2-4ac}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

Wyszło mi, że tylko pasuje \(\displaystyle{ a=2,b=5,c=2}\), ale tak na szybko sprawdzałem drobne przypadki więc mogłem się coś przeoczyć, to poprawna odpowiedź?

No to nie wszystkie, \(\displaystyle{ (2,7,5)}\) też spełnia.

Pasuje też na przykład \(\displaystyle{ (a,b,c)=(2,23,11)}\) lub \(\displaystyle{ (a,b,c)=(17,19,2)}\). Zamiast strzelać, spróbuj na przykład skojarzyć to z równaniem kwadratowym.

No tak, w sumie nie to chciałem napisać , to grubsza sprawa chyba jest więc inne pytanie:

Istnieje tylko jedna trójka \(\displaystyle{ (a,b,c)=(2,5,2)}\) liczb pierwszych \(\displaystyle{ a,b,c}\) dla której \(\displaystyle{ b^2-4ac}\) jest kwadratem liczby pierwszej, tak (oto powinienem był zapytać, ach to rozkojarzenie dzisiaj )?

Ten pierwszy problem da się rozwiązać, ale nie wiem, czy jesteś tym zainteresowany. Jeszcze raz radzę: jeśli delta jest całkowita, to pierwiastki równania \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\) są wymierne, z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu możliwości nie ma dużo.

A co do drugiego, to tak na szybko znalazłem
\(\displaystyle{ (2,5,2) \\ (2,7,3) \\ (3,7,2) \\ (2,7,5) \\ (5,7,2)}\)

O ile się nie pomyliłem, to wszystkie możliwości.

--
Dopisano:
Oczywiście chodziło o to, że \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) jest liczbą całkowitą, słuszna uwaga.

Sylwek pisze: jeśli delta jest całkowita, to pierwiastki równania \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\) są wymierne

miało być jeśli delta jest kwadratem liczby naturalnej?

Skrót myślowy. Często piszę \(\displaystyle{ \Delta =a}\), a w miejscu \(\displaystyle{ a}\) wpisuję \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\).
Odnośnie zadania, nie można tego powiązać z wzorami Viete'a ?

OK, dzięki Sylwek