Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{5}{31} < \frac{a}{b} < \frac{7}{43}}\).
Wyznacz najmniejszą możliwą wartość b.

Sprowadzając ułamki \(\displaystyle{ \frac{5}{31}}\) i \(\displaystyle{ \frac{7}{43}}\) do wspólnego mianownika otrzymamy nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{5\cdot 43}{31\cdot43} < \frac{a}{b} < \frac{7\cdot 31}{43\cdot31}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{215}{1333} < \frac{a}{b} < \frac{217}{1333}}\)
Stąd widać, że musi być:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\frac{216}{1333}}\)
ułamek ten jest nieskracalny, zatem skoro \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{N}}\) to najmniejsza wartość b to 1333

matmi pisze: \(\displaystyle{ \frac{215}{1333} < \frac{a}{b} < \frac{217}{1333}}\)
Stąd widać, że musi być:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\frac{215}{1333}}\)

Raczej \(\displaystyle{ \frac{216}{1333}}\).

JK

Przecież tak napisałam..
Istotne i tak jest tutaj b :-p

Zrobiłem już to tak samo, ale w odpowiedziach jest inaczej. Poza tym nie wzięliście pod uwagę tego, że \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) nie musi się równać\(\displaystyle{ \frac{216}{1333}}\). Ułamki \(\displaystyle{ \frac{5}{31}}\) i \(\displaystyle{ \frac{7}{43}}\) można rozszerzać do mianownika większego niż \(\displaystyle{ 1333}\). Wtedy ułamek \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) może przyjmować różne wartości.

Ale w treści masz ,,najmniejszą możliwą (b)" - nie ma wielu mozliwości.

Zadanie nie jest poprawnie rozwiązane. Na przykład dla \(\displaystyle{ \frac{5}{31} < \frac{12}{74} < \frac{7}{43}}\) \(\displaystyle{ b=74}\) i jest mniejsze niż \(\displaystyle{ 1333}\).

\(\displaystyle{ \frac{12}{74}= \frac{6}{37}}\), czyli jest jeszcze mniejsza wartość \(\displaystyle{ b}\)

Czyli dla rozważanej nierówności \(\displaystyle{ a=\frac{5+7}{2}}\), \(\displaystyle{ b=\frac{31+43}{2}}\), ale już dla nierówności \(\displaystyle{ \frac{8}{9}<\frac{a}{b}<\frac{9}{10}}\), \(\displaystyle{ a=17}\), \(\displaystyle{ b=19}\), czyli \(\displaystyle{ a=\frac{2 \cdot 8+2 \cdot 9}{2}}\), \(\displaystyle{ b=\frac{2 \cdot 9+2 \cdot 10}{2}}\).
Czy istnieje ogólne rozwiązanie problemu \(\displaystyle{ \frac{a}{b}<\frac{c}{d}<\frac{e}{f}}\) dla najmniejszego c i d oraz jak wyznaczyć wszystkie c i d spełniające nierówność?

Wszystkich rozwiązań raczej nie da się wyznaczyć, bo jest ich nieskończenie wiele.
A jeśli chodzi o jakiś uniwersalny sposób, to nie mam pojęcia.