Matematyka.pl

Liczby \(\displaystyle{ a, b}\) są całkowite dodatnie, przy czym \(\displaystyle{ a}\) jest nieparzysta. Określamy ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1}^{\infty}}\) rekurencją o warunku początkowym \(\displaystyle{ a_1 = b}\) i określoną dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) wzorem:

\(\displaystyle{ a_{n+1}= \begin{cases} \frac{1}{2}a_n &\text{ gdy } a_n \text{ jest parzysta }\\ a_n+a &\text{ gdy } a_n \text{ jest nieparzysta }\end{cases} }\)

Niech \(\displaystyle{ x=0,a_1a_2a_3...}\) będzie liczbą rzeczywistą, której rozwinięcie dziesiętne zawiera na \(\displaystyle{ n}\)-tym miejscu po przecinku cyfrę jedności liczby \(\displaystyle{ a_n}\), dla \(\displaystyle{ n \ge 1.}\) Rozstrzygnij czy \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą wymierną czy nie.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

x jest wymierna, bo od pewnego momentu jej rozwinięcie jest okresowe.