Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ n>1}\) będzie liczbą nieparzystą. Wykaż, że \(\displaystyle{ n }\) jest liczbą złożoną wtedy i tylko wtedy gdy istnieją takie liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b }\), że \(\displaystyle{ a^{2} - b^{2} = n }\) oraz \(\displaystyle{ a-b > 1. }\)

Próbowałem najpierw udowodnić \(\displaystyle{ q \rightarrow p }\) metodą nie wprost:
Jeżeli \(\displaystyle{ a-b=0 }\), to \(\displaystyle{ n = 0 }\), czyli fałsz.
Jeżeli \(\displaystyle{ a-b=1 }\), to \(\displaystyle{ n }\) jest pierwszą (rozpisanie ze wzoru skróconego mnożenia), czyli fałsz.

W drugą stronę nie mam pomysłu :/
Czy mógłbym Was prosić o pomoc?

jan_daciulski pisze: ↑10 kwie 2024, o 16:17Próbowałem najpierw udowodnić \(\displaystyle{ q \rightarrow p }\) metodą nie wprost:
Jeżeli \(\displaystyle{ a-b=0 }\), to \(\displaystyle{ n = 0 }\), czyli fałsz.
Jeżeli \(\displaystyle{ a-b=1 }\), to \(\displaystyle{ n }\) jest pierwszą (rozpisanie ze wzoru skróconego mnożenia), czyli fałsz.

Ale co to jest? Jeżeli coś dowodzisz metodą nie wprost, to najpierw należy porządnie sformułować założenie nie wprost, a potem przedstawić rozumowanie. Ja tu na razie nie widzę rozumowania (i nawet nie jestem pewny, które wynikanie uzasadniasz). Co to za warunki \(\displaystyle{ a-b=0 }\), \(\displaystyle{ a-b=1}\)? Skąd się wzięły i dlaczego akurat takie (a nie np. \(\displaystyle{ a-b=17}\))? Skąd wniosek, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą pierwszą i dlaczego to "fałsz"?

JK

Przyjąłem tak:
\(\displaystyle{ p }\) - \(\displaystyle{ n }\) jest liczbą złożoną
\(\displaystyle{ q }\) - \(\displaystyle{ n = a^{2} - b^{2} \land a - b > 1 }\)

Chciałem wziąć na warsztat przypadek przeciwny, gdyby \(\displaystyle{ n }\) miało być pierwsze.
Wtedy \(\displaystyle{ a-b }\) albo \(\displaystyle{ a+b }\) musiałoby być równe 1, bo \(\displaystyle{ n>1 \land a, b \ge 0 }\) z warunków zadania.
\(\displaystyle{ a-b }\) nie może być równe 1 (bo \(\displaystyle{ > 1 }\) z warunków).
Gdyby \(\displaystyle{ a+b = 1 }\), to \(\displaystyle{ a=0 \land b=1 }\) albo na odwrót, co dawałoby \(\displaystyle{ n=-1 }\) albo \(\displaystyle{ n=1 }\), co jest sprzeczne.

jan_daciulski pisze: ↑10 kwie 2024, o 16:50 Przyjąłem tak:
\(\displaystyle{ p }\) - \(\displaystyle{ n }\) jest liczbą złożoną
\(\displaystyle{ q }\) - \(\displaystyle{ n = a^{2} - b^{2} \land a - b > 1 }\)

Warunek \(\displaystyle{ q }\) powinien wyglądać tak: "Istnieją \(\displaystyle{ a,b\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ n = a^{2} - b^{2}}\) i \(\displaystyle{ a - b > 1 }\)". Kwantyfikatory są ważne.

jan_daciulski pisze: ↑10 kwie 2024, o 16:50Chciałem wziąć na warsztat przypadek przeciwny, gdyby \(\displaystyle{ n }\) miało być pierwsze.
Wtedy \(\displaystyle{ a-b }\) albo \(\displaystyle{ a+b }\) musiałoby być równe 1, bo \(\displaystyle{ n>1 \land a, b \ge 0 }\) z warunków zadania.
\(\displaystyle{ a-b }\) nie może być równe 1 (bo \(\displaystyle{ > 1 }\) z warunków).
Gdyby \(\displaystyle{ a+b = 1 }\), to \(\displaystyle{ a=0 \land b=1 }\) albo na odwrót, co dawałoby \(\displaystyle{ n=-1 }\) albo \(\displaystyle{ n=1 }\), co jest sprzeczne.

OK, teraz wygląda to lepiej. Dowód jest poprawny, choć dużo prościej byłoby zapisać go wprost: ponieważ \(\displaystyle{ a+b\ge a-b>1,}\) więc liczba \(\displaystyle{ n=(a-b)(a+b)}\) jest iloczynem dwóch czynników, z których żaden nie jest jedynką, czyli jest złożona.

W drugą stronę: skoro \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzystą liczbą złożoną, to \(\displaystyle{ n=c\cdot d}\) dla pewnych dwóch liczb nieparzystych \(\displaystyle{ 1<c\le d<n}\) (dlaczego?). Niech \(\displaystyle{ a=\frac{d+c}{2}, b=\frac{d-c}{2}}\). Wtedy \(\displaystyle{ a,b\in\NN}\) (dlaczego?) oraz \(\displaystyle{ n = a^{2} - b^{2}}\) (do sprawdzenia). Ponadto \(\displaystyle{ a-b=c>1}\), co kończy dowód.

JK

Bardzo dziękuję za pomysł i rozwiązanie!

\(\displaystyle{ n = c \cdot d }\) wynika zakładam stąd, że dowolna liczba nieparzysta złożona jest iloczynem dwóch lub więcej liczb nieparzystych różnych od \(\displaystyle{ 1 }\) i \(\displaystyle{ n }\). Iloczyn liczb nieparzystych jest nieparzysty.
Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ d, c }\) w ogólności różnią się o \(\displaystyle{ 0, 2, 4, 6 }\) (parzysta liczba), \(\displaystyle{ a }\), \(\displaystyle{ b }\) są naturalne.