Matematyka.pl

Udowodnić, że warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby \(\displaystyle{ n}\) była liczbą pierwszą jest \(\displaystyle{ \sigma(n) +\phi(n) = nd(n).}\)

Czym jest funkcja \(\displaystyle{ d(n)}\)?

Liczbą dzielników \(\displaystyle{ n}\).

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsza to równość \(\displaystyle{ \sigma(n) +\phi(n) = nd(n)}\) sprowadza się do \(\displaystyle{ \left( 1+n\right) +\left( n-1\right) =2n}\).

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) nie jest pierwsza to

• \(\displaystyle{ \phi(n)<n-1}\),

• \(\displaystyle{ \sigma(n)\le 1+(d(n)-1)n}\). Bo pozostałe \(\displaystyle{ d(n)-1}\) poza \(\displaystyle{ 1}\) są mniejsze od \(\displaystyle{ n}\).

Sumując stronami dostaniemy nierówność świadczącą o tym, że \(\displaystyle{ \sigma(n) +\phi(n) = nd(n)}\) nie zachodzi w tym przypadku.


Aż się teraz prosi napisać jawny wzór na \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę pierwszą:

Janusz Tracz pisze: ↑17 sty 2023, o 22:46 Aż się teraz prosi napisać jawny wzór na \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę pierwszą:

\(\displaystyle{ p_n=1+ \sum_{k=1}^{2^n} \left\lfloor \left( \frac{n}{\displaystyle \sum_{\ell=1}^{k} \chi_{\left\{ 0\right\} } \left( \sigma(\ell) +\phi(\ell) - \ell d(\ell) \right)} \right)^{1/n}\right\rfloor. }\)

Uroczy!