Matematyka.pl

Uzasadnić, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n>2}\) istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) większa od \(\displaystyle{ n}\) i mniejsza od \(\displaystyle{ n^n}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest złożona czyli \(\displaystyle{ p_{1}p_{2}...p_{k}=n}\), to \(\displaystyle{ p_{1}p_{2}...p_{k}+1}\) spełnia warunki zadania.

robertm19, niekoniecznie.
Weźmy \(\displaystyle{ n=30030=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}\)
\(\displaystyle{ n+1=59 \cdot 509}\) nie jest liczba pierwszą.
A odnośnie zadania to można uderzyć z armaty:

Ale na pewno można znaleźć coś mniej pałkarskiego.

Wystarczy zmodyfikować dowód Euklidesa.

Zordon pisze:Wystarczy zmodyfikować dowód Euklidesa.

Zakładamy, że nie ma licz pierwszych pomiędzy \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n^n}\).
Liczby pierwsze mniejsze od \(\displaystyle{ n}\) to zbiór \(\displaystyle{ \{p_{i},i=1...k\}}\) przy czym \(\displaystyle{ k<n}\).
Weźmy \(\displaystyle{ m=np_{1}p_{2}\cdot...\cdot p_{k}+1}\). Widać, że \(\displaystyle{ m>n}\) oraz \(\displaystyle{ m<n^n}\).
Czyli \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą złożoną. Stąd istnieje \(\displaystyle{ p_{i}}\) takie że \(\displaystyle{ p_{i}|m}\).
Więc
\(\displaystyle{ np_{1}p_{2}\cdot...\cdot p_{k}+1=l\cdot p_{i}}\).
Łatwo już pokazać, że \(\displaystyle{ p_{i}|1}\), sprzeczność.

Czy tak jest ok?

Tak, teraz wszystko gra

Dziękuję bardzo za pomoc.