Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ b^2=ac}\) i liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c}\) nie mają dzielnika większego od \(\displaystyle{ 1}\) to \(\displaystyle{ a+2b+c }\) jest kwadratem liczby całkowitej

Jeśli poprawnie rozumiem :

mol_ksiazkowy pisze: ↑10 maja 2023, o 19:53 liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c}\) nie mają dzielnika większego od \(\displaystyle{ 1}\)

to jedynym układem takich liczb jest \(\displaystyle{ a=b=c=1}\) . Spełniony jest wtedy warunek \(\displaystyle{ b^2=ac}\), a wyrażenie \(\displaystyle{ a=2b+c}\) jest kwadratem liczby 2.

To zbyt trywialne, więc pewnie źle interpretuję ten fragment lub zadanie jest błędnie przepisane.

Możliwe, że chodziło o to że:

\(\displaystyle{ (a,b,c)=1}\)
a wtedy a i b jest kwadratem wiec sprawa dalej trywialna...

arek1357 pisze: ↑11 maja 2023, o 08:32 Możliwe, że chodziło o to że:

\(\displaystyle{ (a,b,c)=1}\)
a wtedy a i b jest kwadratem wiec sprawa dalej trywialna...

Ah, czyli ich największy wspólny dzielnik to 1. Ale wtedy to a i c są kwadratami i \(\displaystyle{ a+2b+c=( \sqrt{a}+ \sqrt{c} )^2}\)

Dokładnie to miałem na myśli...

mol_ksiazkowy pisze: ↑10 maja 2023, o 19:53 ...\(\displaystyle{ a,b,c}\) nie mają dzielnika większego od \(\displaystyle{ 1}\)...

Zapewne chodzi o wspólny dzielnik trójki \(\displaystyle{ a, b, c}\)
Pytanie, czy to oznacza brak wspólnego dzielnika par \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ a, c}\) i \(\displaystyle{ b, c}\).

Brombal pisze: ↑13 maja 2023, o 06:15 Pytanie, czy to oznacza brak wspólnego dzielnika par \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ a, c}\) i \(\displaystyle{ b, c}\).

Nie. Wystarczy aby jedna para liczb naturalnych nie miała wspólnego dzielnika większego od 1.

A nawet mniej ,np
`a=pq, b=qr, c=rp` dla różnych pierwszych `p,q,r`