Hej!
mamy liczby postaci \(\displaystyle{ a + b\sqrt[3]{5}}\)
a, b są wymierne.
Jak najlepiej udowodnić, że iloczyn dwóch takich liczb nie jest tej postaci,
tj ze tego co dostaniemy nie da się zapisac w przy uzyciu liczb
wymiernych i tego pierwiastka z pięciu?
pozdrawiam,
piotrek
Jak to udowodnić?
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Jak to udowodnić?
\(\displaystyle{ (a+b\sqrt[3]{5})(c+d\sqrt[3]{5})=ac+ad\sqrt[3]{5}+bc\sqrt[3]{5}+bd\sqrt[3]{5^2}=
ac+\sqrt[3]{5}(ad+bc+bd\sqrt[3]{5})}\)
Aby iloczyn tych liczb był postaci \(\displaystyle{ x+y\sqrt[3]{5}}\), to musiałoby być:
\(\displaystyle{ ac=x\\
ad+bc+bd\sqrt[3]{5}=y\\
x,y \mathbb{Q}}\)
Ponieważ nasze y jest niewymierne(\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5} \mathbb{Q}}\)) więc otrzymujemy sprzeczność że y jest wymierne, stąd iloczynu dwóch liczb w/w postaci nie mozna zapisać w ten sam sposób.
ac+\sqrt[3]{5}(ad+bc+bd\sqrt[3]{5})}\)
Aby iloczyn tych liczb był postaci \(\displaystyle{ x+y\sqrt[3]{5}}\), to musiałoby być:
\(\displaystyle{ ac=x\\
ad+bc+bd\sqrt[3]{5}=y\\
x,y \mathbb{Q}}\)
Ponieważ nasze y jest niewymierne(\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5} \mathbb{Q}}\)) więc otrzymujemy sprzeczność że y jest wymierne, stąd iloczynu dwóch liczb w/w postaci nie mozna zapisać w ten sam sposób.