Matematyka.pl

Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieją różne liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_1,...,p_n}\) takie, że \(\displaystyle{ 2p_1...p_n - 1}\) jest liczbą złożoną.

Czy dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieją różne liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_1,...,p_n}\) takie, że \(\displaystyle{ 2p_1...p_n - 1}\) jest liczbą pierwszą ?

mol_ksiazkowy pisze: ↑3 lut 2023, o 12:52 Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieją różne liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_1,...,p_n}\) takie, że \(\displaystyle{ 2p_1...p_n - 1}\) jest liczbą złożoną.

Skoro liczby pierwsze (prócz 2 i 3) mają postać \(\displaystyle{ 6k \pm 1}\) to wystarczy wybrać \(\displaystyle{ n-1}\) liczb o postaci \(\displaystyle{ 6k + 1}\) oraz jedną o postaci \(\displaystyle{ 6k - 1}\) a wtedy \(\displaystyle{ 2p_1...p_n - 1}\) będzie podzielne przez 3, czyli będzie liczbą złożoną.

mol_ksiazkowy pisze: ↑3 lut 2023, o 12:52 Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieją różne liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_1,...,p_n}\) takie, że \(\displaystyle{ 2p_1...p_n - 1}\) jest liczbą złożoną.

Jeśli wśród \(\displaystyle{ p_1,...,p_n}\) wszystkie są postaci \(\displaystyle{ 6k + 1}\) lub parzysta ilość z nich ma postać \(\displaystyle{ 6k - 1}\) to \(\displaystyle{ 2p_1...p_n - 1=6m+1}\). Liczba \(\displaystyle{ 6m+1}\) ma szanse być pierwszą, lecz nie mam pomysłu na przepis aby zawsze taką była, dlatego problem pozostaje otwarty.

Muszą być parami różne?

istnieją różne liczby

mają byc różne.