Matematyka.pl

Baker, Harman i Pintz dowiedli, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\)-ów istnieje liczba pierwsza w przedziale \(\displaystyle{ \left[ x - x^{ \frac{21}{40}}; x \right] }\)
to znaczy w odległości \(\displaystyle{ x^{ \frac{21}{40}}}\)
jednocześnie \(\displaystyle{ x^2 + x^{\frac{42}{40}} < (x+1)^2}\)

Czy to znaczy, że hipoteza Legendre'a jest spełniona od pewnego momentu?

Z faktu istnienia liczby pierwszej w przedziale \(\displaystyle{ \left[ x - x^{ \frac{21}{40}}, x \right]}\) nie wynika istnienie takiej w przedziale \(\displaystyle{ \left[ x, x+ x^{ \frac{21}{40}}\right]}\).

A ponadto nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ x^2 + x^{\frac{42}{40}} < (x+1)^2.}\)

Nie da się ukryć...

Więc inne pytanie w tym samym duchu:
Czy skoro \(\displaystyle{ x^3 - x^ \frac{63}{40} > (x-1)^3}\) to od pewnego momentu między dowolnymi sześcianami istnieje liczba pierwsza?

A czemu taka nierówność ma zachodzić?

Tak twierdzi wolfram.

Ale jeżeli mam to wykazać, to spróbujmy:
\(\displaystyle{ x^3 - x^{\frac{63}{40}} > (x-1)^3}\)

\(\displaystyle{ x^3 - x^{\frac{63}{40}} > x^3 - 3x^2 + 3x -1}\)

\(\displaystyle{ - x^{\frac{63}{40}} > - 3x^2 + 3x -1}\)

\(\displaystyle{ x^{\frac{63}{40}} < 3x^2 - 3x + 1}\)

dla \(\displaystyle{ x = 1}\) mamy równość, a dla \(\displaystyle{ x > 1}\) funkcja po prawej rośnie szybciej niż ta po lewej. Faktycznie \(\displaystyle{ \left( x^{\frac{63}{40}}\right)' = \frac{63}{40} x^{\frac{23}{40}} < 6x - 3 = \left( 3x^2 - 3x + 1\right)'}\) a \(\displaystyle{ \frac{63}{40} < 6}\) i \(\displaystyle{ x^{\frac{23}{40}} < x}\)

Przepraszam, nie zauważyłem trzecich potęg. Masz rację z tym wariantem, ale jest to dużo słabsze niż Legendre.