Funkcja Eulera
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Funkcja Eulera
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \phi(m+n) = \phi(m)+ \phi(n) }\) dla nieskończenie wielu liczb \(\displaystyle{ m \neq n}\) .
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Funkcja Eulera
\(\displaystyle{ m=2 \cdot 3^a , n=3^{a+1}}\)
\(\displaystyle{ m+n=2 \cdot 3^a+3^{a+1}=3^a(2+3)=5 \cdot 3^a}\)
\(\displaystyle{ \phi(m+n)=\phi(5 \cdot 3^a)=\phi(5) \cdot \phi(3^a)=4 \cdot 3^{a-1} \cdot 2=8 \cdot 3^{a-1}}\)
\(\displaystyle{ \phi(m)=\phi(2 \cdot 3^a)=\phi(2) \cdot \phi(3^a)=2 \cdot 3^{a-1}}\)
\(\displaystyle{ \phi(n)=\phi(3^{a+1})=2 \cdot 3^a}\)
Teraz sprawdźmy czy:
\(\displaystyle{ \phi(m+n)=\phi(m)+\phi(n)}\)
czyli czy zachodzi:
\(\displaystyle{ 8 \cdot 3^{a-1}=2 \cdot 3^{a-1}+2 \cdot 3^a/:3^{a-1}}\)
\(\displaystyle{ 8=2+2 \cdot 3=8}\)
Więc zachodzi dla nieskończenie wielu: \(\displaystyle{ a \in N}\)
\(\displaystyle{ m+n=2 \cdot 3^a+3^{a+1}=3^a(2+3)=5 \cdot 3^a}\)
\(\displaystyle{ \phi(m+n)=\phi(5 \cdot 3^a)=\phi(5) \cdot \phi(3^a)=4 \cdot 3^{a-1} \cdot 2=8 \cdot 3^{a-1}}\)
\(\displaystyle{ \phi(m)=\phi(2 \cdot 3^a)=\phi(2) \cdot \phi(3^a)=2 \cdot 3^{a-1}}\)
\(\displaystyle{ \phi(n)=\phi(3^{a+1})=2 \cdot 3^a}\)
Teraz sprawdźmy czy:
\(\displaystyle{ \phi(m+n)=\phi(m)+\phi(n)}\)
czyli czy zachodzi:
\(\displaystyle{ 8 \cdot 3^{a-1}=2 \cdot 3^{a-1}+2 \cdot 3^a/:3^{a-1}}\)
\(\displaystyle{ 8=2+2 \cdot 3=8}\)
Więc zachodzi dla nieskończenie wielu: \(\displaystyle{ a \in N}\)