Matematyka.pl

1. Wykaż, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ s }\) pierwsze \(\displaystyle{ s }\) cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby kwadratowej może być dowolne.
2. Udowodnij, że \(\displaystyle{ 19|(11x+2y)}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow }\) \(\displaystyle{ 19|(18x+5y)}\) (przez przypadki, czy da się szybciej?)
3. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \in \NN}\), \(\displaystyle{ n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ n^2+2n+12 }\) (nie wystarczy kontrprzykład).
4. Wykaż, że istnieje liczba pierwsza, której ostatnimi cyframi w zapisie dziesiętnym są cyfry \(\displaystyle{ 2,0,1,9,2,0,2,1.}\)
5. W turnieju piłkarskim uczestniczy \(\displaystyle{ 17}\) drużyn. Każda z każdą rozgrywa jeden mecz, rozgrywki odbywają się w trzech miastach. Udowodnij, że pewne trzy drużyny rozgrywają wszystkie mecze między sobą w jednym mieście. (zasada szufladkowa?)

aneta909811 pisze: ↑9 mar 2024, o 00:173. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \in \NN}\), \(\displaystyle{ n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ n^2+2n+12 }\) (nie wystarczy kontrprzykład).

Po pierwsze, komentarz jest bez sensu, bo twierdzenie jest ogólne, więc oczywiście nie wystarczy kontrprzykład, by go dowieść.
Po drugie, zadanie jest bez sensu, bo twierdzenie jest w oczywisty sposób fałszywe ze względu np. na \(\displaystyle{ n=2}\) (a do pokazania fałszywości kontrprzykład jak najbardziej wystarczy...).

JK

2) Wystarczy zauważyć, że modulo 19 mamy \(\displaystyle{ 12 (11x + 2y) = 132x + 24 y = 18x + 5y}\).
4) Twierdzenia Dirichleta o ciągach arytmetycznych
5) Zadanie z teorii Ramseya,