Dany jest ciąg
\(\displaystyle{ x_1=1}\)
\(\displaystyle{ x_2=6}\)
\(\displaystyle{ x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n.}\)
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ q}\) dzieli \(\displaystyle{ x_p}\) oraz \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q > 3}\) są to liczby pierwsze, to \(\displaystyle{ q \geq 2p-1.}\)
Dwie liczby
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Dwie liczby
Ostatnio zmieniony 13 mar 2023, o 15:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja. Poprawa wiadomości.
Powód: Interpunkcja. Poprawa wiadomości.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Dwie liczby
Nie wdając się w rachunki otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ x_{n}= \frac{\left( 3+2 \sqrt{2} \right)^n-\left( 3-2 \sqrt{2} \right)^n }{4 \sqrt{2} } }\)
Jeżeli weźmiemy liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p>3}\)
łatwo wyliczyć, że \(\displaystyle{ x_{p}}\) jest postaci:
\(\displaystyle{ x_{p}=2^{ 3\frac{p-1}{2} } +\alpha \cdot p = \pm 1 \mod p}\)
Druga sprawa, że jeżeli weźmiemy:
\(\displaystyle{ x_{p}=0 \mod q}\)
otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ \left( 3+2 \sqrt{2} \right)^p=\left( 3-2 \sqrt{2} \right)^{-p} \mod q }\)
łatwo zauważyć, że:
\(\displaystyle{ 3+2 \sqrt{2} =\left(3-2 \sqrt{2} \right)^{-1} \mod q>3}\)
co daje nam, że:
\(\displaystyle{ \left( 3+2 \sqrt{2} \right)^{2p}=1 \mod q }\)
Wynika więc, że:
\(\displaystyle{ p<q}\)
Dochodzi to tego, że:
\(\displaystyle{ q \mod p = \pm 1}\)
wynika stąd, że:
\(\displaystyle{ q=2\alpha p \pm 1 , \alpha \ge 1 , q>p}\)
Minimum uzyskamy, gdy:
\(\displaystyle{ q=2p-1}\)
Napiszę teraz kilka wyrazów ciągu o indeksie pierwszym oraz jego dzielniki pierwsze:
\(\displaystyle{ x_{5} \rightarrow 29, 41 =q}\)
\(\displaystyle{ x_{7} \rightarrow 13, 239 =q}\)
\(\displaystyle{ x_{11} \rightarrow 23, 353, 5741 =q}\)
\(\displaystyle{ x_{13} \rightarrow 79, 599 =q}\)
............................................................
Widać na przykładach, że rzeczywiście w każdym przypadku:
\(\displaystyle{ q \mod p= \pm 1}\)
\(\displaystyle{ x_{n}= \frac{\left( 3+2 \sqrt{2} \right)^n-\left( 3-2 \sqrt{2} \right)^n }{4 \sqrt{2} } }\)
Jeżeli weźmiemy liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p>3}\)
łatwo wyliczyć, że \(\displaystyle{ x_{p}}\) jest postaci:
\(\displaystyle{ x_{p}=2^{ 3\frac{p-1}{2} } +\alpha \cdot p = \pm 1 \mod p}\)
Druga sprawa, że jeżeli weźmiemy:
\(\displaystyle{ x_{p}=0 \mod q}\)
otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ \left( 3+2 \sqrt{2} \right)^p=\left( 3-2 \sqrt{2} \right)^{-p} \mod q }\)
łatwo zauważyć, że:
\(\displaystyle{ 3+2 \sqrt{2} =\left(3-2 \sqrt{2} \right)^{-1} \mod q>3}\)
co daje nam, że:
\(\displaystyle{ \left( 3+2 \sqrt{2} \right)^{2p}=1 \mod q }\)
Wynika więc, że:
\(\displaystyle{ p<q}\)
Dochodzi to tego, że:
\(\displaystyle{ q \mod p = \pm 1}\)
wynika stąd, że:
\(\displaystyle{ q=2\alpha p \pm 1 , \alpha \ge 1 , q>p}\)
Minimum uzyskamy, gdy:
\(\displaystyle{ q=2p-1}\)
Napiszę teraz kilka wyrazów ciągu o indeksie pierwszym oraz jego dzielniki pierwsze:
\(\displaystyle{ x_{5} \rightarrow 29, 41 =q}\)
\(\displaystyle{ x_{7} \rightarrow 13, 239 =q}\)
\(\displaystyle{ x_{11} \rightarrow 23, 353, 5741 =q}\)
\(\displaystyle{ x_{13} \rightarrow 79, 599 =q}\)
............................................................
Widać na przykładach, że rzeczywiście w każdym przypadku:
\(\displaystyle{ q \mod p= \pm 1}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Dwie liczby
Co to znaczy \(\displaystyle{ x\pmod q}\), gdy \(\displaystyle{ x}\) jest niecałkowite, a nawet niewymierne? Chodzi mi m.in. o linijkę
\(\displaystyle{ (3+2\sqrt{2})^{2p}\equiv 1\pmod{q}}\) (i wiele innych).
Nie pytam w złej wierze, mogę czegoś nie pamiętać z algebry abstrakcyjnej. Być może da się jakoś obronić to podejście dzięki rozszerzeniom ciał, ale nie pamiętam jak.
Help (when I was young, so much younger than today pararararararara rarararara).
\(\displaystyle{ (3+2\sqrt{2})^{2p}\equiv 1\pmod{q}}\) (i wiele innych).
Nie pytam w złej wierze, mogę czegoś nie pamiętać z algebry abstrakcyjnej. Być może da się jakoś obronić to podejście dzięki rozszerzeniom ciał, ale nie pamiętam jak.
Help (when I was young, so much younger than today pararararararara rarararara).
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Dwie liczby
Tak można się tego czepiać mi też się to do końca nie podoba, ale mogę zahaczyć o \(\displaystyle{ k( \sqrt{2} )}\)
Jeżeli w danym ciele dwójka nie jest liczbą kwadratową
Dodano po 5 minutach 11 sekundach:
Ale masz racje to podejście nie jest najszczęśliwsze z tym pierwiastkiem.
Dodano po 11 minutach 43 sekundach:
Ale jeżeli wejdziemy w \(\displaystyle{ K( \sqrt{2} )}\) może da się coś obronić...
Dodano po 46 sekundach:
Bo z wymiernymi nie ma kłopotu to co w mianowniku to tylko odwrotność
Dodano po 8 minutach 39 sekundach:
I tak się zagalopowałem trochę bo całość traktowałem jako liczbę całkowitą zapisaną w postaci pierwiastków ale ok galop za daleki ciut...
Dodano po 9 godzinach 55 minutach 34 sekundach:
Przejrzałem to jeszcze raz i tak jak mówię gdy w ciele dwójka jest elementem kwadratowym wtedy jest ok i zgadza się...
Natomiast gdy dwójka nie jest kwadratowa to bierzemy ciało \(\displaystyle{ \ZZ_{p}( \sqrt{2}) }\) i też się zgadza...
Jeżeli w danym ciele dwójka nie jest liczbą kwadratową
Dodano po 5 minutach 11 sekundach:
Ale masz racje to podejście nie jest najszczęśliwsze z tym pierwiastkiem.
Dodano po 11 minutach 43 sekundach:
Ale jeżeli wejdziemy w \(\displaystyle{ K( \sqrt{2} )}\) może da się coś obronić...
Dodano po 46 sekundach:
Bo z wymiernymi nie ma kłopotu to co w mianowniku to tylko odwrotność
Dodano po 8 minutach 39 sekundach:
I tak się zagalopowałem trochę bo całość traktowałem jako liczbę całkowitą zapisaną w postaci pierwiastków ale ok galop za daleki ciut...
Dodano po 9 godzinach 55 minutach 34 sekundach:
Przejrzałem to jeszcze raz i tak jak mówię gdy w ciele dwójka jest elementem kwadratowym wtedy jest ok i zgadza się...
Natomiast gdy dwójka nie jest kwadratowa to bierzemy ciało \(\displaystyle{ \ZZ_{p}( \sqrt{2}) }\) i też się zgadza...
Ostatnio zmieniony 22 mar 2023, o 00:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.