Matematyka.pl

Jakub Gurak pisze: ↑8 mar 2024, o 14:13 Ja bym to uzasadnił tak, że jeśli \(\displaystyle{ p\in\PP}\) jest liczbą pierwszą, to:
\(\displaystyle{ p \in \stackrel { \rightarrow }{f} \left( p=\left\{ n \in \NN: \ n<p\right\} \right) \subset \stackrel { \rightarrow }{f}\left( \NN\right)= f _{P};}\)
który to pierwszy z tych trzech faktów można łatwo indukcyjnie udowodnić, a pozostałe przejścia są oczywiste.\(\displaystyle{ \square}\)

Nadal tego nie widzę, mógłbyś rozpisać wszystkie kroki dokładniej?

Rozumowanie, o którym rozmawiamy, pochodzi od Euklidesa. Wydaje mi się, że był pierwszym człowiekiem, który zauważył, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Ale ilekroć czytam o tym dowodzie, nigdzie nie wspomina się, czy algorytm znajduje wszystkie liczby pierwsze.

Z czystej ciekawości policzyłam początkowe wyrazy ciągu \(\displaystyle{ p_n}\) i mamy: 2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671 (?), 38709183810571 (??), 139 (???). Wygląda to dość chaotycznie.

Niestety, to nie jest praktyczny algorytm; bo w celu znalezienia tym sposobem nowej liczby pierwszej trzeba by było wszystkie obecnie znane liczby pierwsze pomnożyć, i dla takiej liczby (powiększonej o jeden) szukać jej dzielników- obawiam się, że złożoność obliczeniowa takiego algorytmu jest tragiczna...

Nie szkodzi, że nie jest praktyczny.

Ewentualnie jeżeli nie chcesz rozpisać kroków dowodu, możesz przynajmniej wysłowić go po polsku (bez znaczków)? Rozczytałam tyle, że \(\displaystyle{ p}\) należy do obrazu funkcji \(\displaystyle{ f}\) (nie wiem, jakiej funkcji ), potem że \(\displaystyle{ p}\) jest zbiorem liczb mniejszych od \(\displaystyle{ p}\) (to trochę jak w liczbach porządkowych von Neumanna), a potem się już całkiem zgubiłam.

Chodzi tu (sorry, że dopiero teraz odpisuje, ale nie sprawdzałem poczty- nie spodziewałem się, że ktoś tutaj jeszcze coś odpiszę), chodzi tu o funkcję, która \(\displaystyle{ n}\)-ej liczbie naturalnej przypisuje \(\displaystyle{ n}\)-ą początkową liczbę pierwszą, bo... ups

Postępując dalej w ten sposób otrzymamy ciąg \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \PP}\) wszystkich liczb pierwszych\(\displaystyle{ .\square}\)

Hir pisze: ↑7 mar 2024, o 22:06Nie widzę, dlaczego \(\displaystyle{ f}\) miałaby być surjekcją.

Ups - teraz do mnie dotarło, że może tu być problem... Myślałem, że ta metoda wyznaczania nowych liczb pierwszych wyznacza kolejne liczby pierwsze (przynajmniej teoretycznie), a teraz do mnie dotarło, że może być to tutaj problem... Ktoś wie jak to uzasadnić

Dodano po 2 godzinach 55 minutach 21 sekundach:
O proszę, zdaje się, że to już udowodniłem Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych:

Dodano po 11 minutach 18 sekundach:
A dla tej rozważanej liczby \(\displaystyle{ X=\left( p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n\right) +1}\), gdzie \(\displaystyle{ p_i}\) są to początkowe liczby pierwsze- możesz najpierw szukać dzielników pierwszych \(\displaystyle{ p=2, p=3, \ldots, p=X-1}\), a jak ta liczba \(\displaystyle{ X}\) nie będzie miała takich dzielników, to będzie liczbą pierwszą...

To pokazuje tylko, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Może zadam prostsze pytanie. Co stoi na przeszkodzie, żeby zbiór

\(\displaystyle{ E = \{\textrm{najmniejszy dzielnik pierwszy liczby } 1 + p_1p_2 \ldots p_n : n \in \mathbb N\}}\)

zawierał wszystkie liczby pierwsze poza 11?

Przeszkodą jest to, że liczbę \(\displaystyle{ X:=11 \cdot 13-1= 142}\) można rozłożyć na czynniki pierwsze, a dla liczby \(\displaystyle{ 11 \cdot 13=X+1=143,}\) mamy: \(\displaystyle{ 11 \in E. }\) To nie do końca odpowiada na Twoje pytanie, ale... -w szczegóły liczbowe nie chcę mi się wchodzić... W razie potrzeby wziąłbym tutaj najmniejszą wspólną wielokrotność...