Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele bo, gdyby było ich skończenie wiele to szereg \(\displaystyle{ \sum_{p-\text{pierwsze}}^{} \frac{1}{p} }\) byłby zbieżny. A nie jest.
Gdyby zbiór liczb pierwszych był skończony \(\displaystyle{ P=\{p_1,...p_N \}}\), to wynikiem mnożenia \(\displaystyle{ N}\) zbieżnych szeregów geometrycznych \(\displaystyle{ \sum_{n} (\frac{1}{p_j}) ^n}\) byłby zbieżny (!) szereg harmoniczny \(\displaystyle{ \sum_{n} \frac{1}{n} }\), który jednak jest rozbieżny.