Matematyka.pl

Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, c}\) liczba \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) jest całkowita

proponuję
\(\displaystyle{ b=a ^{2}-1 }\), \(\displaystyle{ c=b ^{2} +b}\)
Wynik dzielenia \(\displaystyle{ a-1}\)

Liczba \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) jest całkowita dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, c}\), jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) spełniają pewne warunki. To są te warunki:

1. Liczba \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2-1}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\), czyli:
\[a^2+b^2+c^2-1 \equiv 0 \pmod{(1+a)(1+b)(1+c)}.\]

2. \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\) nie może być równe 0, więc \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) nie mogą być równa (-1).

3. Jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) lub \(\displaystyle{ c}\) wynoszą 0, to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) również będzie całkowite.

4. Jeśli \(\displaystyle{ a=b=c=1}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) wynosi 0.

Podsumowując, liczba \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) jest całkowita dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, c}\), które spełniają te warunki.

Dynia5 pisze: ↑18 sie 2023, o 23:24 Liczba \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) jest całkowita dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, c}\), jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) spełniają pewne warunki. To są te warunki:

1. Liczba \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2-1}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\), czyli:
\[a^2+b^2+c^2-1 \equiv 0 \pmod{(1+a)(1+b)(1+c)}.\]

Ten warunek nic nie wnosi - to jest teza zapisana innymi słowami

2. \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\) nie może być równe 0, więc \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) nie mogą być równa (-1).

Warto czytać założenia

3. Jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) lub \(\displaystyle{ c}\) wynoszą 0, to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) również będzie całkowite.

Na przykład dla `a=0, b=1` wyrażenie jest równe \(\displaystyle{ \frac{c^2}{2(1+c)}}\) i rzadko kiedy jest całkowite

4. Jeśli \(\displaystyle{ a=b=c=1}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) wynosi 0.

Z dodawaniem też krucho

Podstawmy

\(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=3}\), \(\displaystyle{ c=12}\) zgodnie z zasadą którą przedstawiłem powyżej.
\(\displaystyle{ \frac{4+9+144-1}{3\cdot 4\cdot 13} = \frac{156}{156} =1}\)

\(\displaystyle{ a=3}\), \(\displaystyle{ b=8}\), \(\displaystyle{ c=72}\)
\(\displaystyle{ \frac{9+64+5184-1}{4\cdot 9\cdot 73} = \frac{5256}{2628} =2}\)

...

Dodano po 15 godzinach 1 minucie 56 sekundach:
Dołożę jeszcze inny warunek
\(\displaystyle{ b= a^{2} \cdot ( a^{2} -1) }\), \(\displaystyle{ c=a ^{2} \cdot (a ^{2} -1)^{2} }\) wynik ten sam \(\displaystyle{ a-1}\)

Dodano po 11 minutach 43 sekundach:
\(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=2 ^{2} \cdot( 2 ^{2}-1)=12 }\), \(\displaystyle{ c=2 ^{2} \cdot (2 ^{2} -1) ^{2}=36 }\)
\(\displaystyle{ \frac{4+144+1296-1}{1 \cdot 11 \cdot 35}= \frac{1443}{1443} =1 }\)

@mol_książkowy wiesz jaka będzie odpowiedź do tego problemu?

Brombal pisze: ↑21 sie 2023, o 06:29 Podstawmy

\(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=3}\), \(\displaystyle{ c=12}\) zgodnie z zasadą którą przedstawiłem powyżej.
\(\displaystyle{ \frac{4+9+144-1}{3\cdot 4\cdot 13} = \frac{156}{156} =1}\)

\(\displaystyle{ a=3}\), \(\displaystyle{ b=8}\), \(\displaystyle{ c=72}\)
\(\displaystyle{ \frac{9+64+5184-1}{4\cdot 9\cdot 73} = \frac{5256}{2628} =2}\)

...

Dodano po 15 godzinach 1 minucie 56 sekundach:
Dołożę jeszcze inny warunek
\(\displaystyle{ b= a^{2} \cdot ( a^{2} -1) }\), \(\displaystyle{ c=a ^{2} \cdot (a ^{2} -1)^{2} }\) wynik ten sam \(\displaystyle{ a-1}\)

Dodano po 11 minutach 43 sekundach:
\(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=2 ^{2} \cdot( 2 ^{2}-1)=12 }\), \(\displaystyle{ c=2 ^{2} \cdot (2 ^{2} -1) ^{2}=36 }\)
\(\displaystyle{ \frac{4+144+1296-1}{1 \cdot 11 \cdot 35}= \frac{1443}{1443} =1 }\)

Jeszcze musisz wykazać, że inne trójki niż wymienione nie zadziałają. To nie jest pytanie, aby pokazać, że takich trójek jest nieskończenie wiele, ale znaleźć wszystkie z nich

Dodano po 5 dniach 20 godzinach 2 minutach 41 sekundach: