Matematyka.pl

Nie wiem czy moje zadanie trafiło do odpowiedniego działu.
Mam następujący problem.
Według definicji średnia liczb \(\displaystyle{ a_{1}, ..., a_{n}}\) to dowolna funkcja
\(\displaystyle{ \mu(a_{1}, ..., a_{n})}\) spełniająca warunek:
\(\displaystyle{ min (a_{1}, ..., a_{n}) \le \mu (a_{1}, ..., a_{n}) \le max(a_{1}, ..., a_{n})}\)
mam następujący problem jak sprawdzić że średnia arytmatyczna jest średnią w myśl tej definicji?

Weźmy dowolne \(\displaystyle{ a_{1}, ..., a_{n}}\). Niech bez straty ogólność \(\displaystyle{ \min (a_{1}, ..., a_{n})=a_1}\). Wtedy \(\displaystyle{ \min (a_{1}, ..., a_{n})=a_1=\frac{na_1}{n}=\frac{\overbrace{a_1+a_1+...+a_1}^{n}}{n} \le \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}}\).
Maksimum analogicznie.

bardzo dziękuję Maximum udowodniłam a jak to jest w przypadku średniej geometrycznej?

Praktycznie tak samo:
\(\displaystyle{ \min (a_{1}, ..., a_{n})=a_1= \sqrt[n]{a_1^n}= \underbrace{\sqrt[n]{a_1\cdot a_1\cdot...\cdot a_1}}_n \le \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... a_n}}\)

aha dzieki jednak nie było to takie straszne jak mi sie wydawało;p