Matematyka.pl

Dane są takie dodatnie liczby wymierne \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), dla których liczba \(\displaystyle{ \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{ab} }\) jest wymierna. Wykaż, że liczby \(\displaystyle{ \sqrt{a} }\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{b} }\) są wymierne.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

1.
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{ab} =w \\
\sqrt{a}+ \sqrt{b}=w- \sqrt{ab} \\
a+2\sqrt{ab}+b= w^2-2w\sqrt{ab}+ab \\
\sqrt{ab}(2+2w)=w^2-a-b }\)
wniosek:
......

2.
......

Ok, prawa strona jest wymierna, więc lewa też musi, a \(\displaystyle{ 2+2w}\) jest wymierne, więc \(\displaystyle{ \sqrt{ab} }\) musi być wymierny, chyba, że \(\displaystyle{ w=-1}\), ale \(\displaystyle{ w}\) jest dodatnie więc to odpada, zgadza się? No dobra czyli \(\displaystyle{ \sqrt{ab} }\) jest liczbą wymierną. I wiemy jeszcze, że \(\displaystyle{ \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{ab} }\) jest liczbą wymierną. No, ale jak teraz z tego wynika, że \(\displaystyle{ \sqrt{a} }\) i \(\displaystyle{ \sqrt{b} }\) są wymierne? Wydaje się to w miarę oczywiste, bo do liczby wymiernej \(\displaystyle{ \sqrt{ab} }\) dodajemy jakieś dwie liczby i suma jest wymierna, więc tamte pozostałe dwie liczby też chyba powinny być wymierne, ale nie wiem czy to tak z tego wynika?

max123321 pisze: ↑18 lis 2022, o 23:10Wydaje się to w miarę oczywiste, bo do liczby wymiernej \(\displaystyle{ \sqrt{ab} }\) dodajemy jakieś dwie liczby i suma jest wymierna, więc tamte pozostałe dwie liczby też chyba powinny być wymierne,

Serio?

JK

Znaczy powinienem napisać, że do wymiernej \(\displaystyle{ \sqrt{ab} }\) dodajemy jakieś dodatnie dwie liczby i suma jest wymierna, więc te pozostałe dwie liczby powinny być wymierne. No chyba tak, a co J Kraszewski potrafisz podać kontrprzykład?

A nie źle mówię, muszę pomyśleć. Nie no faktycznie mogłoby być \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)+(3- \sqrt{2})=2 }\). No, ale to w takim razie nie wiem jak dostać tezę z zadania. Wiem, że \(\displaystyle{ \sqrt{ab} }\) jest wymierny i \(\displaystyle{ \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{ab} }\) jest wymierny, ale nie wiem co dalej?

max123321 pisze: ↑18 lis 2022, o 23:20Wiem, że \(\displaystyle{ \sqrt{ab} }\) jest wymierny i \(\displaystyle{ \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{ab} }\) jest wymierny, ale nie wiem co dalej?

\(\displaystyle{ \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{ab} =w\\
\left( \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{ab}\right)^2 =w^2}\)
itd.

JK

Aha dobra, to chyba mam pewien pomysł:
\(\displaystyle{ w^2=a+b+ab+2 \sqrt{ab}+2 \sqrt{a^2b}+2 \sqrt{ab^2} }\) i dalej
\(\displaystyle{ w^2=a+b+ab+2 \sqrt{ab}+ \sqrt{a}(2 \sqrt{ab}+2b) }\), a z tego wynika, że
\(\displaystyle{ \sqrt{a}= \frac{w^2-a-b-ab-2 \sqrt{ab} }{2 \sqrt{ab}+2b } }\), no i z tego co zostało wykazane wcześniej prawa strona jest wymierna, więc lewa też musi. Analogicznie można dowieść wymierności \(\displaystyle{ \sqrt{b} }\).

Czy tak jest dobrze?

Tak.

JK