Matematyka.pl

Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b, c}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ a·b·c = 71286}\). Uzasadnij, że co najmniej
jedna z sum \(\displaystyle{ a + b}\), \(\displaystyle{ b + c}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ a+b=3k}\) i \(\displaystyle{ b+c=3m}\), dla pewnych naturalnych \(\displaystyle{ k,m}\). Wówczas \(\displaystyle{ a=3k-b}\) i \(\displaystyle{ c=3m-b}\). Podstawiając to do danego równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (3k-b)b(3m-b)=2 \cdot 3 \cdot 109^2}\) czyli
\(\displaystyle{ 9kmb-3kb^2-3mb^2+b^3}\) to lewa strona.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ b=3s}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ 27kms-27ks^2-27ms^2+27s^3=2 \cdot 3 \cdot 109^2}\). Lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 27}\), a prawa nie. Sprzeczność.
Załóżmy zatem, że \(\displaystyle{ b=3s+1}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ 9km(3s+1)-3k(3s+1)^2-3m(3s+1)^2+(3s+1)^3=27kms+9km-27ks^2-18ks-3k-27ms^2-18ms-3m+27s^3+27s^2+92+1=2 \cdot 3 \cdot 109^2}\). Prawa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), a lewa nie. Sprzeczność.
Załóżmy zatem, że \(\displaystyle{ b=3s+2}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ 9km(3s+2)-3k(3s+2)^2-3m(3s+2)^2+(3s+2)^3=27kms+18km-3k(9s^2+12s+4)-3m(9s^2+12s+4)+27s^3+54s^2+12s+8=2 \cdot 3 \cdot 109^2}\). Prawa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), a lewa nie. Sprzeczność.
Zatem w każdym wypadku możliwym dostaliśmy sprzeczność, zatem przynajmniej jedna z iczb \(\displaystyle{ a+b}\) lub \(\displaystyle{ b+c}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

Czy tak jest dobrze?

Dodano po 8 godzinach 6 sekundach:
Może się ktoś wypowiedzieć czy tak jest dobrze? Ewentualnie czy można to było jakoś prościej zrobić?

Dodano po 1 godzinie 39 minutach 4 sekundach:
Ponawiam prośbę, czy może się ktoś wypowiedzieć na temat tego rozwiązania albo ewentualnie podać inne prostsze?

Sprawdzać mi się nie chce, więc podam prostszą wersję.

Załóżmy nie wprost, że obie sumy \(\displaystyle{ a+b, b+c}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\). Oznacza to, że ich różnica, czyli \(\displaystyle{ (a+b)-(b+c)=a-c}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), czyli liczby \(\displaystyle{ a,c}\) dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\). Ponieważ \(\displaystyle{ abc=2\cdot3\cdot 109^2}\), więc dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) - musi to być \(\displaystyle{ b}\) (bo \(\displaystyle{ 3\mid a \Leftrightarrow 3\mid c}\)). Ale wtedy \(\displaystyle{ a=(a+b)-b}\) też jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Sprzeczność.

JK