Matematyka.pl

Dane są dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b}\) o następującej własności: dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 1}\) ułamek
\(\displaystyle{ \frac{a+n}{b+n} }\)
jest skracalny. Wykaż, że \(\displaystyle{ a = b}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Dodano po 15 godzinach 52 minutach 29 sekundach:
Czy może mi ktoś z tym pomóc?

Dodano po 9 godzinach 38 minutach 59 sekundach:
Podbijam pytanie, jak to zrobić.

A jakieś własne próby?

JK

No napisałem tylko, że \(\displaystyle{ a+n=dp}\) i \(\displaystyle{ b+n=dr}\) i tak ma być dla każdego \(\displaystyle{ n}\), ale co z tym dalej to nie wiem.

Zapisanie definicji to jeszcze nie jest próba rozwiązania zadania. Musisz próbować różnych rzeczy, a nie siadać i twierdzić, że nie masz pomysłów.

Może spróbuj jakieś konkretne \(\displaystyle{ n}\) ?

JK

No ok, no to na przykład \(\displaystyle{ n=1}\). Wówczas mamy \(\displaystyle{ \frac{a+1}{b+1} }\). No to mogłoby być \(\displaystyle{ a=5,b=2}\) i będzie ułamek skracalny, a \(\displaystyle{ a \neq b}\). No i następne biorę \(\displaystyle{ n=2}\) dla tych samych \(\displaystyle{ a,b}\) no i dostaję ułamek nieskracalny, więc tak być nie może. No dobra, ale jak z tego jakieś ogólne wnioski wyciągnąć?

Z tego - żadne. Po co szukasz kontrprzykładu - nie wierzysz, że twierdzenie jest prawdziwe?

A wpadłeś na to, żeby spróbować np. \(\displaystyle{ n=a}\) ?

JK

No ok, czyli dla \(\displaystyle{ n=a}\) mamy, że \(\displaystyle{ \frac{2a}{a+b} }\) jest skracalny czyli \(\displaystyle{ NWD(2a,a+b)=d_1>1}\) i analogicznie \(\displaystyle{ NWD(2b,a+b)=d_2>1}\). Nie wiem za bardzo jak z tą dwójką sobie poradzić, ale przy założeniu, że \(\displaystyle{ 2}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a+b}\), to \(\displaystyle{ a}\) musi dzielić \(\displaystyle{ a+b}\) i analogicznie \(\displaystyle{ b}\) musi dzielić \(\displaystyle{ a+b}\). I teraz skoro \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ a+b}\) to \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ b}\) i analogicznie skoro \(\displaystyle{ b}\) dzieli \(\displaystyle{ a+b}\) to \(\displaystyle{ b}\) musi dzielić \(\displaystyle{ a}\). A z tego, że \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ b}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\) wynika, że \(\displaystyle{ a=b}\). Czy tak jest dobrze ten fragment? A jak z tą dwójką sobie poradzić?

A nie to chyba jest źle co napisałem. Hmm...

Dodano po 18 godzinach 40 minutach 25 sekundach:
Jednak nie wiem jak to zrobić. Czy ktoś może mi pomóc z tym?

max123321 pisze: ↑20 lis 2022, o 16:40 A z tego, że \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ b}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\) wynika, że \(\displaystyle{ a=b}\). Czy tak jest dobrze ten fragment?

Jest dobrze, tylko nie jestem pewien czy zauważyłeś że założenie doprowadziło Cię do sprzeczności. Zatem można to przerobić na dowód nie wprost, że \(\displaystyle{ 2\mid a+b}\), czyli liczby \(a\) i \(b\) mają tę samą parzystość. To już coś. A próbowałeś jeszcze inne \(n\) podstawiać. Jest ich jeszcze dużo.

Nie rozumiem za bardzo jaka tu jest sprzeczność. Pokazałem, że jeśli \(\displaystyle{ 2}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a+b}\), to \(\displaystyle{ a=b}\), ale co jeśli \(\displaystyle{ 2}\) dzieli \(\displaystyle{ a+b}\)? Wówczas \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) mają tą samą parzystość, ale z tego chyba jeszcze nic nie wynika. Proszę jeszcze o jakąś pomoc w tym.