Matematyka.pl

taki problem: wyszukać wyszystkie naturalne abcd spełniające równanie
dla n nieujemnego całkowitego
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=7 \cdot 4^{n}}\)
no i tak udało mi się znaleźć pare rozwiązań... dla \(\displaystyle{ n=0}\)
mamya=1 b=1 c=1 d=2 i 3 permutacje
dla n=1
mamy
a=5 b=1 c=1 d=1 i 3 permutacje
a=3 b=3 c=3 d=1 i 3 permutacje
a=4 b=2 c=2 d=2 i 3 permutacje
to chyba wszystkie możliwe rozwiązania dla tego \(\displaystyle{ n}\)
wiem także że dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) na podstawie mod(4) kwadratów abcd mają tą samą parzystość (reszta z dzielenia kwadratu przez 4 to 0 albo 1)
0+0+0+0=0
0+0+0+1=1
0+0+1+1=2
0+1+1+1=3
1+1+1+1=4
dla \(\displaystyle{ n>1}\) prawdopodobnie trzeba udowodnić że nie ma rozwiązań no i tu zaczynają się schody... dodatkowo wiem jeszcze z mod(16) dzielenia kwadratów reszta musi być dla nieparzystych 1 lub 9
a dla parzystych 0 lub 4
zatem nieparzyste kwadraty odpadają bo
1+1+1+1=4 nie mod(16)
1+1+1+9=12 nie mod(16)
1+1+9+9=20 nie mod(16)
1+9+9+9=28 nie mod(16)
9+9+9+9=36 nie mod(16)
dla parzystych:
0+0+0+0=0 = mod(16)
0+0+0+4=4 nie mod(16)
0+0+4+4=8 nie mod(16)
0+4+4+4=12 nie mod(16)
4+4+4+4=16 = mod(16)
tyle wiem... teraz proszę o pomoc bo wygląda na to że nie ma takich liczb spełniających to równanie dla \(\displaystyle{ n>1}\)

Tych rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Skąd??? pisze:dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ a=b=c=d=2}\)

Zauważ, że prawie sam masz rozwiązanie.
Skoro równanie \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 7\cdot4^{n}}\) spełnia para liczb \(\displaystyle{ a=5, b=1, c=1, d=1, n=1}\) to podstawiając \(\displaystyle{ a = 2a _{1},...d=2d _{1}}\) otrzymujesz równanie \(\displaystyle{ a^{2} _{1}+...+d^{2} _{1}=7\cdot4^{n-1}}\), które spełnione jest również przez liczby \(\displaystyle{ a _{1}=5,...,d _{1}=1}\) ale \(\displaystyle{ n = 2}\) Otrzymujesz stąd kolejną parę liczb \(\displaystyle{ x=10, y=2, z=2, t=2, n=2}\), która spełnia równanie
Generujesz sobie w ten sposób nieskończoną ilość par, które spełniają to równanie \(\displaystyle{ (20,4,4,4),(40,8,8,8),(80,16,16,16)...}\)

o łeee faktycznie z tym \(\displaystyle{ a=b=c=d=2}\) to pomyłka dzięki bardzo sprytnie