Matematyka.pl

Udowodnić, że ciąg \(\displaystyle{ a_n = n+ \lfloor \sqrt{n} + \frac{1}{2} \rfloor }\) opuszcza wyłącznie kwadraty liczb naturalnych.

0)
Funkcja \(\displaystyle{ u(x) =\lfloor \sqrt{x} + \frac{1}{2} \rfloor \ \ \ \ }\) jest nieciągła dla \(\displaystyle{ \ \ \ x=k^2+k+ \frac{1}{4} \ \ \ }\) przy całkowitych \(\displaystyle{ k}\) .

\(\displaystyle{ u(k^2+k+ \frac{1}{4}) =\lfloor \sqrt{k^2+k+ \frac{1}{4}} + \frac{1}{2} \rfloor =\lfloor k+ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \rfloor =k+1}\)

\(\displaystyle{ u((k+1)^2+(k+1)+ \frac{1}{4}) =\lfloor \sqrt{k^2+3k+ \frac{9}{4}} + \frac{1}{2} \rfloor =\lfloor k+ \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \rfloor =k+2}\)

wniosek: \(\displaystyle{ u(x)=k+1 \ \ }\) dla \(\displaystyle{ \ \ x \in \ [ k^2+k+ \frac{1}{4} \ ; \ (k+1)^2+(k+1)+ \frac{1}{4} ) }\)


1)
\(\displaystyle{
a_{k^2+k+1}=k^2+k+1+\lfloor \sqrt{k^2+k+1} + \frac{1}{2} \rfloor =k^2+k+1 +(k+1)=(k+1)^2+1\\
a_{(k+1)^2+(k+1)}=(k+1)^2+(k+1)+\lfloor \sqrt{(k+1)^2+(k+1)} + \frac{1}{2} \rfloor =(k+1)^2+(k+1)+(k+1)=(k+2)^2-1
}\)

Dla \(\displaystyle{ n \in \left\{ k^2+k+1 \ ; \ (k+1)^2+(k+1)\right\} }\) zachodzi: \(\displaystyle{ \ \ a_n=n+\lfloor \sqrt{n} + \frac{1}{2} \rfloor =n+k+1 \ \ }\) , więc w przyjętym zbiorze kolejnych liczb naturalnych ciąg za wartości przyjmuje kolejne liczby naturalne od \(\displaystyle{ \ (k+1)^2+1 \ }\) do \(\displaystyle{ \ (k+2)^2-1 \ }\)

2)
przeskakiwanie kwadratów (choć wynika ono już w pkt 1) )
\(\displaystyle{ a_{k^2+k} = k^2+k+ \lfloor \sqrt{k^2+k} + \frac{1}{2} \rfloor =k^2+k+u(k^2+k) = k^2+k+k=(k+1)^2-1 }\)
\(\displaystyle{ a_{k^2+k+1} = k^2+k+1+ \lfloor \sqrt{k^2+k+1} + \frac{1}{2} \rfloor = k^2+k+1+u(k^2+k+1)=k^2+k+1+k+1=(k+1)^2+1 }\)