Arytmetyki 7 i 11

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11059
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3112 razy
Pomógł: 739 razy

Arytmetyki 7 i 11

Post autor: mol_ksiazkowy »

Ciąg okresowy \(\displaystyle{ 1, 4, 5, 9, 3, 1, 4, 5, 9, 3, 1,....}\) w arytmetyce mod \(\displaystyle{ 11}\) jest też ciągiem geometrycznym (w tej arytmetyce) jak i ciągiem Fibonacciego. Udowodnić, że w arytmetyce mod \(\displaystyle{ 7}\) ciągu o tych własnościach nie ma.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5635
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 519 razy

Re: Arytmetyki 7 i 11

Post autor: arek1357 »

Jak tworzymy ciąg Fibonacciego w: \(\displaystyle{ \ZZ_{7}}\) w każdej kombinacji dwóch pierwszych liczb, to i tak zawsze pojawi się w którymś momencie zero...

Nietrudno to sprawdzić po prostu licząc...

A nawet jakbyśmy chcieli utworzyć tylko trzyelementowy ciąg w ciele \(\displaystyle{ \ZZ_{7}}\) spełniający:

\(\displaystyle{ x,y,z}\)

\(\displaystyle{ y^2=xz, z=x+y}\)

to otrzymamy równanie:

\(\displaystyle{ y^2-xy-x^2=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta= 5x^2}\)

Lecz niestety piątka nie jest liczbą kwadratową w ciele: \(\displaystyle{ \ZZ_{7}}\) więc ten układ nie ma rozwiązania...

Zapewne wiąże się to z tym, że w ciele: \(\displaystyle{ \ZZ_{7}}\) równanie:

\(\displaystyle{ x^2=5}\) nie ma rozwiązania natomiast w: \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) równanie to ma rozwiązanie a jak wiadomo w ciągu Fibonacciego piątka i jej pierwiastek odgrywają kluczową rolę...

Istotne jest też czy:

\(\displaystyle{ \left( \frac{1+ \sqrt{5} }{1- \sqrt{5} } \right)^n }\) czy jest generatorem grupy w:

\(\displaystyle{ \ZZ^*_{p}( \sqrt{5}), \cdot }\) czy nie, np:

w: \(\displaystyle{ \ZZ_{7}( \sqrt{5}) }\) tak nie jest bo:

\(\displaystyle{ \left( \frac{1+ \sqrt{5} }{1- \sqrt{5} } \right)^8=1}\)

natomiast w:

\(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+ \sqrt{5} }{1- \sqrt{5} } =2}\)

\(\displaystyle{ x^2=5 \Rightarrow x=4 \vee 7}\)

a dwójka jest generatorem: \(\displaystyle{ \left( \ZZ^*_{11}, \cdot \right)}\)
Samouk1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 13 lis 2022, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Arytmetyki 7 i 11

Post autor: Samouk1 »

@arek1357 zauważyłem, że korzystasz (tu, ale w niektórych tematach jeszcze bardziej) dość zaawansowanych metod. Algebra to jest coś co (chyba) lubię. Mógłbyś mi powiedzieć co należy przerobić, żeby osiągnąć taki poziom?

Przepraszam, że nic nie wniosłem do tematu, ale pozwolę sobie (trochę legalistycznie) skorzystać z regulaminowych trzech postów, które mogą być off-top.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5635
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 519 razy

Re: Arytmetyki 7 i 11

Post autor: arek1357 »

Akurat korzystałem tu z ciał:

\(\displaystyle{ \ZZ_{p^2}}\)

A które dość dobrze rozszerzają ciała \(\displaystyle{ \ZZ_{p}}\) jak napiszę ( a już tak kilka razy było w ciele podstawowym np:

\(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) - to się mnie będą czepiać i dlatego wolę to już na wyrost rozszerzyć...
Samouk1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 13 lis 2022, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Arytmetyki 7 i 11

Post autor: Samouk1 »

Miałem raczej na myśli podręczniki czy jakiś inny zakres materiału do przerobienia, żeby móc operować algebraicznie na Twoim poziomie.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5635
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 519 razy

Re: Arytmetyki 7 i 11

Post autor: arek1357 »

Polecam: Teorię liczb w informatyce Song Y. Yan dobry podręcznik bez lania wody

Dodano po 4 minutach :
A poza tym zawsze notuję i zapisuję różne wzory i twierdzenia, które wiem, że są potrzebne i przydatne w sumie po jakimś czasie cyklicznie wracasz do tego samego co gdzieś kiedyś było...a po drugie traktuj to jak zabawę i łamigłówki i staraj się łączyć fakty czasem zaprowadzi Cię to do ślepego zaułku ale to nie najważniejsze...
ODPOWIEDZ