Matematyka.pl

Nie do końca rozumiem ideę szeregów, dlatego proszę o wyjaśnienie. Mam nieformalną definicję, która obrazowo mówi, że szereg to połączenie członów ciągu poprzez znak \(\displaystyle{ +}\) czyli \(\displaystyle{ a_0 + a_1 + a_2 +...}\).

Następnie mowa o szeregach w następujący sposób: dla każdego \(\displaystyle{ m \in \NN}\) rozpatrzmy sumę częściową
\(\displaystyle{ s_m := \sum_{n=0}^{m} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_m}\). Ciąg \(\displaystyle{ (s_m)_{m \in \NN}}\) sum częściowych nazywa się (nieskończonym) szeregiem ze składowymi \(\displaystyle{ a_n}\) i oznaczany jest jako \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n}\). Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ (s_m)}\) jest zbieżny, to jego granice oznaczamy również jako \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n}\).

Mój problem zaczyna się już chyba w tym, że te dwie definicje jakby do siebie nie pasują. Według pierwszej definicji szereg to poprostu nieskończona suma. Do końca też nie wiem czym ta nieskończona suma miałaby być, bo raczej nie liczbą. Traktuje to jako pewny abstrakcyjny obiekt matematyczny. Druga definicja z kolei dla mnie jest funkcją \(\displaystyle{ f: \NN \rightarrow \RR}\) czyli mówiąc krócej ciągiem. Mam więc do czynienia z dwoma różnymi byta i stąd nie rozumiem np. zapisu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n}\) do oznaczania sum częściowych. Tak samo \(\displaystyle{ lim}\) jako \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n}\) oznacza nieskończoną sumę, a przecież wiemy, że \(\displaystyle{ lim}\) to po prostu liczba, do której ciąg jest zbieżny.

Mam nadzieję, że nie namieszałem zbytnio .

novicjusz pisze:Do końca też nie wiem czym ta nieskończona suma miałaby być, bo raczej nie liczbą. Traktuje to jako pewny abstrakcyjny obiekt matematyczny.

Dlaczego nie miałaby być liczbą? Jeśli szereg jest zbieżny to jest to jak najbardziej liczba..

Weźmy przykład: \(\displaystyle{ a_i=0 \ \ \hbox{dla } i \in \mathbb{N}}\)
Wtedy: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}a_k=0}\)

novicjusz, cześć!

Dobre pytanie. Należy takie zadawać. Oczywiście, nie należy tracić intuicji. Szereg to zawsze powinna być w głowie idea: "sumuje nieskończenie wiele wyrazów". Ale jak to teraz ugryźć matematycznie? Nie możemy tego tak zostawić, bo ta nieskończoność jakoś tak wszystko psuje. Przyjęto dość wygodny sposób patrzenia na szeregi. Mianowicie, patrzymy na szereg jak na ciąg sum częściowych. Zatem od dziś szereg to dla nas z definicji to samo co ciąg sum częściowych. Czyli:

\(\displaystyle{ s_1=a_1 \\ s_2=a_1+a_2 \\ \vdots \\ s_n=a_1 + \ldots a_n}\)

I teraz można coś więcej o tej nieskończonej sumie powiedzieć. Istotnie, zbieżność szeregu, to z definicji będzie dla nas zbieżność jego ciągu sum częściowych. I jest to naturalne, czyż nie?

Jeśli więc cokolwiek liczysz, dowodzisz, to myśl o szeregu jak o ciągu. Tyle że wyrazami tego ciągu są kolejne sumy częściowe. Każdy kolejny wyraz to coraz większa ilość sumowanych skladników : )

Czyli mówiąc w skrócie, matematycy chcieli badać nieskończone sumy i w tym celu wpadli na pomysł zapisywania ich jako ciągi sum częściowych? Wszystko fajnie, tyle tylko, że powinni mieć pewność, że taka nieskończona suma oraz \(\displaystyle{ lim}\) ciągu sum częściowych to faktycznie to samo. Dla mnie to wcale nie jest takie intyicyjne, dlatego pytam czemu tak akurat jest? Można to jakoś ściśle uargumentować czy to po prostu kwestia definicji?

Przede wszystkim szereg, to nic innego jak FORMALNY zapis \(\displaystyle{ a_1+a_2+\dots}\) przedstawiany również jako \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n}\).
Jako formalny zapis to wyrażenie nie ma żadnej wartości liczbowej. Można na takich zapisać bawić się w określanie działąń: np.
\(\displaystyle{ (*)\quad\sum_{n=1}^\infty a_n+\sum_{n=1}^\infty b_n =\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)}\)
\(\displaystyle{ (**)\quad\lambda\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty (\lambda a_n)}\)

Chciało by się teraz przypisać takiemu szeregowi pewną wartość liczbową - nazwijmy ja sumą szeregu i oznaczmy \(\displaystyle{ S_a}\) (bo w końcu jest to suma liczb) i można to zrobić na mnóstwo sposobów.

Z pewnością jednak chcielibyśmy, aby szeregowi, którego wyrazy od pewnego miejsca sa zerowe przypisać sumę tych niezerowych wyrazów, nieprawdaż?
Świetnie byłoby również, gdyby suma sumy dwóch szeregów bułą sumą sum szeregów (czyli \(\displaystyle{ S_{a+b}=S_a+S_b}\) oraz \(\displaystyle{ S_{\lambda a}=\lambda S_a}\) ), bo przecież takie własności maja sumy skończone.

Zaproponowano zatem, aby określić \(\displaystyle{ S_a}\) jako sumę ciągu sum częściowych. MA ona te włąsności, o których pisałem.
Więc odpowiedź na Twoje pytanie

Wszystko fajnie, tyle tylko, że powinni mieć pewność, że taka nieskończona suma oraz lim ciągu sum częściowych to faktycznie to samo

brzmi: maja pewność, bo tak tę nieskończoną sumę zdefiniowano.

Można ją zdefiniować inaczej. Na przykład niech \(\displaystyle{ \sigma_n=a_1+a_2+\dots +a_{3n-1}+a_3n}\) i \(\displaystyle{ S_a^3=\lim \sigma_n}\) (to nie jest trzecia potęga, tylko takie oznaczenie, żeby podkreślić, że sumujemy po trz wyrazy

Przy takiej definicji warunki dotyczące sumy i mnożenia przez liczbę będą zachowane, klasa szeregów zbieżnych będzie inna, niż przy definicji klasycznej, inaczej będą wyglądały kryteria zbieżnośći.
Dlaczego zatem nie przyjęto takiej właśnie definicji? Ano z takiego na przykład powodu:
Oblicz sumę \(\displaystyle{ S^3}\) takiego szeregu:
\(\displaystyle{ 0,5,-5,0,5,-5,0,5,-5,\dots}\)
a potem takiego
\(\displaystyle{ 0,0,5,-5,0,5,-5,0,5,-5,\dots}\)

Jak widzisz, te sumy są różne. A przecież dodanie zera na początku nic nie powinno zmienić.

Odpowiedź na pytanie: dlaczego taka a nie inna definicja wynika stąd, że matematycy są leniwi i starają się wybierać najprostsze rozwiązania odpowiadające intuicjom.

a4karo, Twój post mi sporo rozjaśnił.