Matematyka.pl

Proszę o sprawdzenie porpawności rozwiązania zadania.
Zadanie:
Wyznaczyć zbiór punktów zbieżności następującego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{2^n}{3n^2 + 1} x^n}\)

Moje rozwiązanie:
Korzystam z tw. cauchego-hadamarda:

Obliczam promień zbieżnosći:
\(\displaystyle{ c_n = \frac{2^n}{3n^2+1} \\[1ex]
R = \frac{1}{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} } = 1; \\[1ex]
x_0 = 0}\)
więc z twierdzenia mam że:
dla \(\displaystyle{ (-1; 1)}\) zbieżny bezwzględnie
dla \(\displaystyle{ (- \infty ;-1) \cup (1; \infty )}\) rozbieżny

teraz trzeba jeszcze sprawdzić punkty \(\displaystyle{ x=-1}\) i \(\displaystyle{ x=1}\)

dla \(\displaystyle{ x=-1}\) nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności więc jest rozbieżny (tak?)
dla \(\displaystyle{ x=1}\) tutaj też (tak?)

czyli ostateczna odp:
dla \(\displaystyle{ (-1; 1)}\) zbieżny bezwzględnie
dla \(\displaystyle{ \left( -\infty ; -1 \right> \cup \left< 1; \infty \right)}\) rozbieżny

To jest dobrze?

\(\displaystyle{ R = \frac{1}{ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{|c_n|} } = 1;}\)

to nie jest prawdą

Czy to będzie \(\displaystyle{ 0.5}\)?

Wtedy w punktach nieroztrzygnietych mam szeregi:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{3n^2 + 1}}\) który , z kryterium leibnitza jest zbiezny
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{3n^2 +1}}\)
Który z kryterium calkowego jest zbieżny

Czyli ostateczny wynik to :
Dla \(\displaystyle{ \left< -0.5 ; 0.5 \right>}\) zbieżny bezwzględnie
Dla reszty zbioru \(\displaystyle{ \RR}\) rozbiezny .
Dobrze czy źle?

dobrze