Mam problem ze zbadaniem zbieżnośći szeregu wyrażonego wzorem
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }{n( \sqrt{n^2+n}-n )} }\)
Byłbym wdzięczny za pomoc
Zbieżność szeregu z sin w liczniku i różnicą w mianowniku
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 9 lut 2024, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 3 razy
Zbieżność szeregu z sin w liczniku i różnicą w mianowniku
Ostatnio zmieniony 9 lut 2024, o 18:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Zbieżność szeregu z sin w liczniku i różnicą w mianowniku
wsk 1 dla `x\approx 0` mamy `sin x=x`
wsk 2 `(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b`
wsk 2 `(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b`
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Zbieżność szeregu z sin w liczniku i różnicą w mianowniku
Kryterium ilorazowe pozwala równoważnie badać szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{n}n\left( \sqrt{n^2+n}-n \right) } }\). Dalej zamień \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+n}-n }\) na \(\displaystyle{ n/( \sqrt{n^2+n}+n )}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 13 lis 2022, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 26
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Zbieżność szeregu z sin w liczniku i różnicą w mianowniku
A \(\displaystyle{ \frac{\sin( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }{n( \sqrt{n^2+n}-n )}}\) nie jest większe niż \(\displaystyle{ \frac1n}\)?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Zbieżność szeregu z sin w liczniku i różnicą w mianowniku
Nie. Dla dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{\sin( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }{n( \sqrt{n^2+n}-n )} \approx \frac{2}{n \sqrt{n} } }\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 9 lut 2024, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 3 razy
Re: Zbieżność szeregu z sin w liczniku i różnicą w mianowniku
Rozumiem że bierze się to stąd że jak n dąży do nieskończoności to
\(\displaystyle{ \frac{\sin( \frac{1}{ \sqrt{n} } )}{ \frac{1}{ \sqrt{n} } }=1 }\)
dlatego można zapisać
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin(1/ \sqrt{n} )}{ \frac{1}{ \sqrt{n} } } -1\right|< \alpha }\)
czyli np.
\(\displaystyle{ \sin(1/ \sqrt{n} ) < (1+ \frac{1}{2})\cdot \frac{1}{ \sqrt{n} } }\)
a co w przypadku gdy w liczniku mamy \(\displaystyle{ \cos( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }\) ?
\(\displaystyle{ \frac{\sin( \frac{1}{ \sqrt{n} } )}{ \frac{1}{ \sqrt{n} } }=1 }\)
dlatego można zapisać
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin(1/ \sqrt{n} )}{ \frac{1}{ \sqrt{n} } } -1\right|< \alpha }\)
czyli np.
\(\displaystyle{ \sin(1/ \sqrt{n} ) < (1+ \frac{1}{2})\cdot \frac{1}{ \sqrt{n} } }\)
a co w przypadku gdy w liczniku mamy \(\displaystyle{ \cos( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }\) ?
Ostatnio zmieniony 11 lut 2024, o 19:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Zbieżność szeregu z sin w liczniku i różnicą w mianowniku
Tak. Ale nie trzeba korzystać z definicji. Intuicja wystarczy. A formalizmu dopełnia kryterium ilorazowe. Choć można z definicji granicy i kryterium porównawczego osiągnąć równie formalny wynik odnośnie zbieżności. A \(\displaystyle{ \frac{\sin( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }{n( \sqrt{n^2+n}-n )} \approx \frac{2}{n \sqrt{n} }}\) wynika z faktu, że dla dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{ \sqrt{n} } \approx \frac{1}{ \sqrt{n} } }\).
W ogóle zrozumienie skąd się biorą nasze pomysły przychodzi naturalnie po zrozumieniu asymptotyki tego co jest pod szeregiem oraz faktu, iż pierwsze wyrazy można ingerować. Liczą się jedynie duże \(\displaystyle{ n}\). I asymptotyczne zachowanie wyrazów sumowanych dla dużych \(\displaystyle{ n}\) na znaczenie.
Wtedy zauważamy, że \(\displaystyle{ \cos \frac{1}{ \sqrt{n} } \approx 1 }\) i robimy wszystko dokładnie tak samo.
W ogóle zrozumienie skąd się biorą nasze pomysły przychodzi naturalnie po zrozumieniu asymptotyki tego co jest pod szeregiem oraz faktu, iż pierwsze wyrazy można ingerować. Liczą się jedynie duże \(\displaystyle{ n}\). I asymptotyczne zachowanie wyrazów sumowanych dla dużych \(\displaystyle{ n}\) na znaczenie.