Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ x_n=\sqrt{7n+1}-\sqrt{7n}}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\). Dla każdej wartości parametru \(\displaystyle{ p\in\mathbb{R}}\) rostrzygnij, czy szereg jest:
1. zbieżny,
2. zbieżny bezwzględnie,
3. zbieżny warunkowo.

Rozwiązanie tego zadania można podzielić na 3 przypadki:
1) Gdy \(\displaystyle{ p = 0}\), wtedy mamy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ +\infty }(-1)^n}\), no i chyba z tego wynika, że nie jest ani zbieżny, ani zbieżny bezwzględnie, ani zbieżny warunkowo.
2) Gdy \(\displaystyle{ p > 0}\), wtedy z kryterium Leibniza gdy \(\displaystyle{ x_n}\) jest monotoniczny (a on chyba jest sciśle malejącym) i dąży do 0 (co latwo udowodnić), to szereg jest zbieżny warunkowo.
3) Gdy \(\displaystyle{ p < 0}\), wtedy też używamy kryterium Leibniza, i możemy zauważyć, że wtedy \(\displaystyle{ \frac{1}{ x_n} \rightarrow \infty }\) (latwo udowodnić). I wtedy nie jest ani zbieżny, ani zbieżny bezwzględnie, ani zbieżny warunkowo.

Czy moje rozumowania są dobrze? Dziękuję z góry za pomóc!

Odpowiedzi są sensowne ale nie pełne i optymalne. Dla \(\displaystyle{ p \le 0}\) wystarczy jedynie wskazać na warunek konieczny i o żadnej zbieżności nie mam mowy. Jeśli \(\displaystyle{ p>0}\) to sytuacja jest bardziej subtelna. Dla dużych (cokolwiek to znaczy) \(\displaystyle{ p}\) szereg jest zbieżny bezwzględnie. A dla małych dodatnich \(\displaystyle{ p}\) bezwzględnej zbieżności nie uzyskamy ale kryterium Leibniza da zbieżność warunkową. Tobie jednak pozostawiam doprecyzowanie, gdzie jest granica pomiędzy małymi, a dużymi \(\displaystyle{ p}\).