\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ +\infty }(-1)^n\left(x_n\right)^p}\)
jest:1. zbieżny,
2. zbieżny bezwzględnie,
3. zbieżny warunkowo.
Rozwiązanie tego zadania można podzielić na 3 przypadki:
1) Gdy \(\displaystyle{ p = 0}\), wtedy mamy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ +\infty }(-1)^n}\), no i chyba z tego wynika, że nie jest ani zbieżny, ani zbieżny bezwzględnie, ani zbieżny warunkowo.
2) Gdy \(\displaystyle{ p > 0}\), wtedy z kryterium Leibniza gdy \(\displaystyle{ x_n}\) jest monotoniczny (a on chyba jest sciśle malejącym) i dąży do 0 (co latwo udowodnić), to szereg jest zbieżny warunkowo.
3) Gdy \(\displaystyle{ p < 0}\), wtedy też używamy kryterium Leibniza, i możemy zauważyć, że wtedy \(\displaystyle{ \frac{1}{ x_n} \rightarrow \infty }\) (latwo udowodnić). I wtedy nie jest ani zbieżny, ani zbieżny bezwzględnie, ani zbieżny warunkowo.
Czy moje rozumowania są dobrze? Dziękuję z góry za pomóc!