Zbieżność szeregów

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
Finral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 lis 2022, o 15:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Zbieżność szeregów

Post autor: Finral »

Cześć,

przygotowuje się do kolokwium i rozwiązując listy od dr. prowadzącej zajęcia natrafiłem na 2 przykłady, które nie mam pojęcia jak ugryźć. Pierwsze polecenie każde zbadać zbieżność szeregu używając kryterium porównawczego lub ilorazowego
zfsKFBw.png
zfsKFBw.png (1.5 KiB) Przejrzano 117 razy
Niezależnie od której strony próbuje podejść zawsze wychodzi mi w granicy strona niejednoznaczna.
Podobny problem mam w szeregu nr2 który mam rozwiązać kryterium Cauchy'ego ale tam z kolei wychodzi mi 1 więc nie rozstrzyga zbieżności a dalej nie mam pojęcia jak to ruszyć:
yqBVrBe.png
yqBVrBe.png (1.98 KiB) Przejrzano 117 razy
Będę wdzięczny za wytłumaczenie jak ruszyć te przykłady.
Ostatnio zmieniony 24 lis 2022, o 16:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Teraz nie linkujemy, tylko dodajemy załączniki.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3515 razy

Re: Zbieżność szeregów

Post autor: a4karo »

Aż tak żle, że nie chciało Ci się przepisać tych przykładów? Przecież zrobienie zdjęć i ich hostowanie zajmuje więcej czasu niż zapisanie w Latexu

Pokaż swoje próby rozwiązania. W drugim sprawdź najpierw, czy spełniony jest warunek konieczny
Finral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 lis 2022, o 15:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Zbieżność szeregów

Post autor: Finral »

AlRqKpU.jpg
w pierwszym szeregu staram się udowodnić rozbieżność, a znajduje szereg większy od przykładu który po przekształceniach na szereg harmoniczny * stała wychodzi mi zbieżny,

co do drugiego przykładu granica wyszła mi różna od 0 więc nie jest zbieżny, ale czy to jest wystarczające jako uzasadnienie że jest rozbieżny?
Ostatnio zmieniony 24 lis 2022, o 17:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie linkujemy, tylko dodajemy załączniki.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3515 razy

Re: Zbieżność szeregów

Post autor: a4karo »

JAk nie jest zbieżny, to jaki jeszcze może być?
W pierwszym: gdybyś miał porównać wyrazy tego ciągu z wyrażeniem postaci `n^a` to na jakie `a` byś stawiał?
Finral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 lis 2022, o 15:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Zbieżność szeregów

Post autor: Finral »

do \(\displaystyle{ -\frac12}\)? bo \(\displaystyle{ \frac{n^1}{n^{\frac32}}}\) czyli \(\displaystyle{ n^1 \cdot n^{-\frac32}}\)
Ostatnio zmieniony 24 lis 2022, o 17:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3515 razy

Re: Zbieżność szeregów

Post autor: a4karo »

Używaj `\LaTeX a`, bo powędrujesz do kosza.
Tak to dobry kandydat. Zastosuj ilorazowe kryterium porównawcze
Finral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 lis 2022, o 15:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Zbieżność szeregów

Post autor: Finral »

to w takim razie wyszło mi ze granica ilorazu szeregu \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n} } }\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\) więc zawiera się w obszarze działania kryterium ilorazowego a \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n} } }\) jest też szeregiem harmonicznym o \(\displaystyle{ p=\frac12}\) więc jest zbieżny co dowodzi zbieżności \(\displaystyle{ a_n}\). Zgadza się czy machnąłem się w obliczeniach?
Ostatnio zmieniony 24 lis 2022, o 17:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3515 razy

Re: Zbieżność szeregów

Post autor: a4karo »

Nie granica ilorazu szeregów, tylko granica ilorazów wyrazów szeregów. Niby podobne, ale jednak nie.

Nie machnąłęś się w obliczeniach, ale sie nie zgadza. Kiedy szereg postaci `sum 1/n^p` jest zbieżny?
Finral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 lis 2022, o 15:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Zbieżność szeregów

Post autor: Finral »

a, racja P>1 źle spojrzałem, więc rozbieżny,
dzięki wielkie za naprowadzenie mnie jak to podejść, rozwiązałem 3 listy od prowadzącej a te 2 przykłady nie mogłem wymyślić jak potraktować, teraz będzie komplet :) jeszcze raz dziękuje!
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3515 razy

Re: Zbieżność szeregów

Post autor: a4karo »

NB szacowanie z dołu przez szereg zbieżny, podobne jak szacowanie z góry przez szereg rozbieżny nie wnosi nic nowego :)
Finral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 lis 2022, o 15:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Zbieżność szeregów

Post autor: Finral »

niekoniecznie bo miałem zbadać zbieżność więc dzięki wykorzystaniu ilorazowego gdzie zbieżność jest wtedy i TYLKO wtedy gdy szereg b jest zbieżny (z definicji) więc szereg a tez musi być rozbieżny
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3515 razy

Re: Zbieżność szeregów

Post autor: a4karo »

Koniecznie. W kryterium ilorazowym nie szacujesz, tylko liczysz granicę, a to co innego.

Zauważ, że każdy szereg o wyrazach dodatnich (zbieżny lub nie) szacuje się z dołu przez szereg zbieżny o wyrazach zerowych :)

Odnosiłem się tu do Twojej kartki z rachunkami
Ostatnio zmieniony 24 lis 2022, o 19:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ