Matematyka.pl

Zbadać zbieżność następujących szeregów:


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)(4n+2)} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{n}}{n^{n^{2}}} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1+n}{n}\right) ^{ \frac{n}{3}} }\)

Masz jakieś podejrzenia?

1) kryterium ilorazowe (tudzież asymptotyczne) z wyrazami szeregu \(\displaystyle{ \sum\frac 1 {n^2}}\), który, jak powszechnie wiadomo, jest zbieżny.
2) Polecam kryterium Cauchy'ego. Dodatkowa wskazówka: \(\displaystyle{ n!\le ne \left(\frac n e\right)^n}\), to możesz udowodnić indukcyjnie (jeśli nie chcesz używać wzoru Stirlinga; jak znasz wzór Stirlinga, to już łatwo).
3) Kryterium d'Alemberta ładnie tu pracuje.
4) Sprawdź warunek konieczny zbieżności szeregu. Czy aby na pewno ciąg \(\displaystyle{ a_n=\left(\frac{1+n}{n}\right)^{\frac n 2}}\) zbiega do zera? Wskazówka: liczba Eulera.

W b) \(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n} <1/2}\)

Dobra a4karo, to ja powiem, a Ty powiesz czy dobrze myślę.
1. Kryterium porównawcze i wyciągnięcie stałych przed szereg. Wyjdzie zbieżność.
2. Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego. Nie wiem, jak to zrobić bardzo formalnie, ale widać, że dla dużych liczb naturalnych zachodzi \(\displaystyle{ n!<n^{n}}\). Tylko trzeba tu nie wpaść w pułapkę, bo ten kwadrat w mianowniku to jest do wykładnika potęgi i po spierwiastkowaniu \(\displaystyle{ n}\) w potędze zostanie.
3. Kryterium d'Alamberta. Nie wiem, jak to formalnie napisać, ale wyjdzie funkcja kwadratowa dzielona przez funkcję wykładniczą o podstawie \(\displaystyle{ 2}\), co dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\).
4. Warunek konieczny, wyjdzie rozbieżność.

Dodano po 29 sekundach:
Jak coś to pisałam zanim była więcej niż jedna odpowiedź, ale mi się w ogóle nie śpieszyło.

Dodano po 30 sekundach:
Premislav, ja uważam, że ilorazowe to troszkę overkill, ja bym dała zwykłe porównawcze.

Dodano po 58 sekundach:
I nie do końca rozumiem po co robić jakieś nierówności, skoro to widać. A w ostatnim jest trójka a nie dwójka.

Niepokonana pisze:A w ostatnim jest trójka a nie dwójka.

Rzeczywiście, mam problemy ze wzrokiem (co widać też tutaj). Nie zmienia to jednak na szczęście adekwatności mojej wskazówki.

Reszta to dyskusja nt. estetyki, toteż ją sobie odpuszczę.

1 ok
2 armata na muchę
3 d'Alembert
4 ok

Armata na bardzo dużą muchę. Wiesz u mnie to trzeba tak to ładnie uzasadniać, chociaż widać, że można to rozbić na iloczyn dwóch zbieżnych ułamków, ale gdybym napisała, że widać, to bym dostała dwa na kolokwium.

Niepokonana pisze: ↑13 cze 2022, o 18:53 ale gdybym napisała, że widać, to bym dostała dwa na kolokwium.

Nie jestem pewien czy dobrze rozumiesz wskazówkę a4karo. Z nierówność \(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n} <1/2}\) którą podał natychmiast wynika, że szereg z zadania jest zbieżny bo jest ograniczony przez zbieżny szereg geometryczny. To znaczy
PS więc jak byś tak napisała (w sensie samą wskazówkę + komentarz, że widać) to z dużym prawdopodobieństwem dostała byś komplet punktów. A na przedmiotach po pierwszym roku to prawdopodobieństwo było by już dowolnie bliskie \(\displaystyle{ 1}\).

PPS być może nie powinienem się wtrącać ale podejrzewam, że to a4karo miał na myśli.