Zbieżność szeregów liczbowych
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Zbieżność szeregów liczbowych
Zbadać zbieżność następujących szeregów:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)(4n+2)} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{n}}{n^{n^{2}}} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1+n}{n}\right) ^{ \frac{n}{3}} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)(4n+2)} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{n}}{n^{n^{2}}} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1+n}{n}\right) ^{ \frac{n}{3}} }\)
Ostatnio zmieniony 11 cze 2022, o 23:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Zbieżność szeregów liczbowych
1) kryterium ilorazowe (tudzież asymptotyczne) z wyrazami szeregu \(\displaystyle{ \sum\frac 1 {n^2}}\), który, jak powszechnie wiadomo, jest zbieżny.
2) Polecam kryterium Cauchy'ego. Dodatkowa wskazówka: \(\displaystyle{ n!\le ne \left(\frac n e\right)^n}\), to możesz udowodnić indukcyjnie (jeśli nie chcesz używać wzoru Stirlinga; jak znasz wzór Stirlinga, to już łatwo).
3) Kryterium d'Alemberta ładnie tu pracuje.
4) Sprawdź warunek konieczny zbieżności szeregu. Czy aby na pewno ciąg \(\displaystyle{ a_n=\left(\frac{1+n}{n}\right)^{\frac n 2}}\) zbiega do zera? Wskazówka: liczba Eulera.
2) Polecam kryterium Cauchy'ego. Dodatkowa wskazówka: \(\displaystyle{ n!\le ne \left(\frac n e\right)^n}\), to możesz udowodnić indukcyjnie (jeśli nie chcesz używać wzoru Stirlinga; jak znasz wzór Stirlinga, to już łatwo).
3) Kryterium d'Alemberta ładnie tu pracuje.
4) Sprawdź warunek konieczny zbieżności szeregu. Czy aby na pewno ciąg \(\displaystyle{ a_n=\left(\frac{1+n}{n}\right)^{\frac n 2}}\) zbiega do zera? Wskazówka: liczba Eulera.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Zbieżność szeregów liczbowych
Dobra a4karo, to ja powiem, a Ty powiesz czy dobrze myślę.
1. Kryterium porównawcze i wyciągnięcie stałych przed szereg. Wyjdzie zbieżność.
2. Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego. Nie wiem, jak to zrobić bardzo formalnie, ale widać, że dla dużych liczb naturalnych zachodzi \(\displaystyle{ n!<n^{n}}\). Tylko trzeba tu nie wpaść w pułapkę, bo ten kwadrat w mianowniku to jest do wykładnika potęgi i po spierwiastkowaniu \(\displaystyle{ n}\) w potędze zostanie.
3. Kryterium d'Alamberta. Nie wiem, jak to formalnie napisać, ale wyjdzie funkcja kwadratowa dzielona przez funkcję wykładniczą o podstawie \(\displaystyle{ 2}\), co dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\).
4. Warunek konieczny, wyjdzie rozbieżność.
Dodano po 29 sekundach:
Jak coś to pisałam zanim była więcej niż jedna odpowiedź, ale mi się w ogóle nie śpieszyło.
Dodano po 30 sekundach:
Premislav, ja uważam, że ilorazowe to troszkę overkill, ja bym dała zwykłe porównawcze.
Dodano po 58 sekundach:
I nie do końca rozumiem po co robić jakieś nierówności, skoro to widać. A w ostatnim jest trójka a nie dwójka.
1. Kryterium porównawcze i wyciągnięcie stałych przed szereg. Wyjdzie zbieżność.
2. Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego. Nie wiem, jak to zrobić bardzo formalnie, ale widać, że dla dużych liczb naturalnych zachodzi \(\displaystyle{ n!<n^{n}}\). Tylko trzeba tu nie wpaść w pułapkę, bo ten kwadrat w mianowniku to jest do wykładnika potęgi i po spierwiastkowaniu \(\displaystyle{ n}\) w potędze zostanie.
3. Kryterium d'Alamberta. Nie wiem, jak to formalnie napisać, ale wyjdzie funkcja kwadratowa dzielona przez funkcję wykładniczą o podstawie \(\displaystyle{ 2}\), co dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\).
4. Warunek konieczny, wyjdzie rozbieżność.
Dodano po 29 sekundach:
Jak coś to pisałam zanim była więcej niż jedna odpowiedź, ale mi się w ogóle nie śpieszyło.
Dodano po 30 sekundach:
Premislav, ja uważam, że ilorazowe to troszkę overkill, ja bym dała zwykłe porównawcze.
Dodano po 58 sekundach:
I nie do końca rozumiem po co robić jakieś nierówności, skoro to widać. A w ostatnim jest trójka a nie dwójka.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Zbieżność szeregów liczbowych
Rzeczywiście, mam problemy ze wzrokiem (co widać też tutaj). Nie zmienia to jednak na szczęście adekwatności mojej wskazówki.Niepokonana pisze:A w ostatnim jest trójka a nie dwójka.
Reszta to dyskusja nt. estetyki, toteż ją sobie odpuszczę.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Zbieżność szeregów liczbowych
Armata na bardzo dużą muchę. Wiesz u mnie to trzeba tak to ładnie uzasadniać, chociaż widać, że można to rozbić na iloczyn dwóch zbieżnych ułamków, ale gdybym napisała, że widać, to bym dostała dwa na kolokwium.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Zbieżność szeregów liczbowych
Nie jestem pewien czy dobrze rozumiesz wskazówkę a4karo. Z nierówność \(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n} <1/2}\) którą podał natychmiast wynika, że szereg z zadania jest zbieżny bo jest ograniczony przez zbieżny szereg geometryczny. To znaczyNiepokonana pisze: ↑13 cze 2022, o 18:53 ale gdybym napisała, że widać, to bym dostała dwa na kolokwium.
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \left( \frac{n!}{n^n} \right)^n \le \sum_{}^{} \left( \frac{1}{2} \right)^n. }\)
PS więc jak byś tak napisała (w sensie samą wskazówkę + komentarz, że widać) to z dużym prawdopodobieństwem dostała byś komplet punktów. A na przedmiotach po pierwszym roku to prawdopodobieństwo było by już dowolnie bliskie \(\displaystyle{ 1}\). PPS być może nie powinienem się wtrącać ale podejrzewam, że to a4karo miał na myśli.