Zbieżność szeregów i ich granice

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
emong00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 21 paź 2022, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 21 razy

Zbieżność szeregów i ich granice

Post autor: emong00 »

Zbadać zbieżność szeregów i, jeśli są zbieżne, podać ich granice:
(a)\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{\alpha +2^k}{2^{k+1}} \right],\alpha \in \mathbb{N}}\)
(b)\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (2k)}{5 \cdot 7 \cdot 9... \cdot (2k+5)}}\)

Na początku to czy nie powinno być \(\displaystyle{ 2k+3}\) zamiast \(\displaystyle{ 2k+5}\)? Poza tym to nie wiem od której strony się za te szeregi zabrać, więc byłbym wdzięczny za jakieś sugestie!
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbieżność szeregów i ich granice

Post autor: a4karo »

a) jeżeli `[]` oznacza część całkowitą, to zbieżność jest dość oczywista, a jeżeli nie, to rozbieżność jest oczywista
b) jest napisane `2k+5`, to tyle ma być. Wypisz kilka pierwszych wyrazów - szacowanie powinieneś zobaczyć
emong00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 21 paź 2022, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 21 razy

Re: Zbieżność szeregów i ich granice

Post autor: emong00 »

(a) wydaje mi się, że jest to część całkowita. Może tak: ten szereg możemy zapisać jako \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha}{2^{n+1}}+\frac{1}{2} \right]}\). Skoro \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{N}}\) to \(\displaystyle{ \exists k\in \mathbb{N}: \alpha \in [2^k,2^{k+1}) }\). W takim razie \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2^{k+2}}<\frac{1}{2}}\). To jest też prawdziwe dla kolejnych liczb naturalnych, czyli dla \(\displaystyle{ k+2}\) i kolejnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ \left[ \frac{\alpha}{2^{n+1}}+\frac{1}{2} \right]=0}\), bo wtedy suma jest mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\) i nieujemna. Stąd wynika, że ten szereg ma skończoną ilość wyrazów (w takim sensie, że dodawanie kolejnych nie zmieni sumy całkowitej tego szeregu). Suma skończonej ilości liczb naturalny jest równa jakiemuś \(\displaystyle{ g\in\mathbb{N}}\), czyli ten szereg jest zbieżny? Nie jestem przekonany co do sposobu argumentacji, ale wydaje mi się, że ogólny pomysł ma sens.
(b) na wykładach mieliśmy podane kryterium d'Alemberta, korzystająć z niego udowadniam, że ten szereg jest zbieżny (\(\displaystyle{ a_n=\frac{2 \cdot ... \cdot 2k}{5 \cdot ... \cdot (2k+5)} \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2k}{2k+5}<1}\) co spełnia to kryterium). Za to nie wiem co dalej z granicą...
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbieżność szeregów i ich granice

Post autor: Janusz Tracz »

emong00 pisze: 3 gru 2022, o 23:22 (a) ...
Jest ok. Można też (co wydaje się lekko mniej złożone) zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{\alpha +2^k}{2^{k+1}}\to \frac{1}{2} }\) to oznacza, że od pewnego miejsca \(\displaystyle{ \frac{\alpha +2^k}{2^{k+1}} }\) różni się od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) o nie więcej niż powiedzmy \(\displaystyle{ 0.00001}\). I od tego miejsca jest już pewne, że \(\displaystyle{ \left[ \frac{\alpha +2^k}{2^{k+1}} \right]=0}\). Choć oczywiście na to samo wychodzi.
ODPOWIEDZ