Uogólniona wersja kryterium D'Alemberta
Uogólniona wersja kryterium D'Alemberta
Czy ktoś wie jak brzmi uogólniona wersja kryterium D'Alemberta do badania zbieżności szeregów, ponieważ nigdzie nie mogę się jej doszukać? Albo przynajmniej gdzie ją znajdę? Chodzi mi o taką, która zawiera coś z kresem górnym czyli supremum.
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Uogólniona wersja kryterium D'Alemberta
Na przykład w Wikipedii.
Najpierw jest podana wersja ogólniejsza, a potem mniej ogólna, tzn. taka gdzie musi istnieć granica ciągu. Tę ogólniejszą wersję można, przy niewielkiej stracie ogólności, wyrazić z użyciem pojęcia granicy dolnej i granicy górnej. Warunek:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_d%E2%80%99Alemberta
oznacza dokładnie to samo co:Jeżeli dla dostatecznie dużych \(n\) oraz pewnego \(r < 1\) spełniona jest nierówność \(D_n \le r\)
Dla drugiego przypadku możemy stwierdzić, że jeśli \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} D_n>1}\), to szereg jest rozbieżny. I tu jest ta strata ogólności w stosunku do najogólniejszego sformułowania, bo przypadek \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} D_n=1}\) zostaje nierozstrzygnięty, a w najogólniejszym sformułowaniu był częściowo rozstrzygnięty.Jeżeli \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} D_n<1}\)