Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ D_n = d_1+...+d_n}\) jest \(\displaystyle{ n}\) tą sumą czastkową szeregu \(\displaystyle{ d_1+d_2+d_3+...}\) rozbieżnego o wyrazach dodatnich, to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{d_n}{D_n (D_{n-1})^{a}} }\) jest zbieżny , gdy \(\displaystyle{ a>0}\).

Bez straty ogólności \(\displaystyle{ a < 1}\). Wystarczy wykazać, że

\(\displaystyle{ \frac{d_n}{D_n (D_{n-1})^a} \le c \cdot \left( \frac{1}{(D_{n-1})^a} - \frac{1}{(D_n)^a} \right)}\)

dla pewnej stałej \(\displaystyle{ c > 0}\), bo wyrazy po prawej stronie tworzą zbieżny szereg teleskopowy. Podstawiając \(\displaystyle{ x = D_{n-1}}\), \(\displaystyle{ y = D_n}\), mamy równoważnie:

\(\displaystyle{ \begin{align*} \frac{y-x}{y x^a} & \le c \cdot \left( \frac{1}{x^a} - \frac{1}{y^a} \right) & \quad \Big| \cdot x^a \\[1ex]
1 - \frac{x}{y} & \le c \cdot \left( 1 - \left( \frac{x}{y} \right)^a \right) \\[1ex]
\frac{1}{c} & \le \frac{1 - z^a}{1 - z},
\end{align*}}\)

gdzie \(\displaystyle{ z = \frac{x}{y} \in (0, 1)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a < 1}\), funkcja \(\displaystyle{ \frac{1-z^a}{1-z}}\) dla \(\displaystyle{ z \in (0, 1)}\) jest ograniczona z dołu przez \(\displaystyle{ a}\), co nietrudno wykazać z nierówności Bernoulliego lub twierdzenia Lagrange'a. To kończy dowód.