Dwa przykłady do zrobienia:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{n ^{n} }{2 ^{n}n! } }\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{n ^{n} }{3 ^{n}n! } }\)
W podpunkcie a) zastosowałem kryterium d'Alemberta i mi wyszło \(\displaystyle{ g = \frac{1}{2} }\) czyli szereg rozbieżny. Czy jest to poprawna odpowiedź?
Szeregi z silnią: zbieżność
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 11 gru 2022, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 29
- Podziękował: 5 razy
Szeregi z silnią: zbieżność
Ostatnio zmieniony 14 gru 2022, o 09:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Szeregi z silnią: zbieżność
Nie.
Granica wyszła Ci zła i z tej złej granicy wyciągnąłeś zły wniosek.
JK
Granica wyszła Ci zła i z tej złej granicy wyciągnąłeś zły wniosek.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 11 gru 2022, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 29
- Podziękował: 5 razy
Re: Szeregi z silnią: zbieżność
Jak dojść do prawidłowego wyniku?
Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ a _{n+1} = \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 ^{n+1}(n+1)! } }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 ^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{2 ^{n}n! }{n ^{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 \cdot 2 ^{n} n!(n+1)} \cdot \frac{2 ^{n}n! }{n ^{n} } = \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} } = \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} }\)
Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ a _{n+1} = \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 ^{n+1}(n+1)! } }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 ^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{2 ^{n}n! }{n ^{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 \cdot 2 ^{n} n!(n+1)} \cdot \frac{2 ^{n}n! }{n ^{n} } = \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} } = \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} }\)
Ostatnio zmieniony 14 gru 2022, o 12:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Szeregi z silnią: zbieżność
A to czerwone cudo to niby skąd?! Na jakiej podstawie ni z gruszki ni z pietruszki wyciągasz pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia (którego tam nie ma)?WavyDrip pisze: ↑14 gru 2022, o 12:00 \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 ^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{2 ^{n}n! }{n ^{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 \cdot 2 ^{n} n!(n+1)} \cdot \frac{2 ^{n}n! }{n ^{n} } = \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} } =\red{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} } } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} }\)
Powinno być \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{\left( 1+\frac1 n \right) ^{n} }{2 }=\frac{e}{2}.}\)
JK
PS Nawiasem mówiąc, ten niepoprawnie dopisany pierwiastek też źle policzyłeś, bo \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{\green{\sqrt[n]{2}}n}.}\)