Matematyka.pl

Dwa przykłady do zrobienia:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{n ^{n} }{2 ^{n}n! } }\)

b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{n ^{n} }{3 ^{n}n! } }\)

W podpunkcie a) zastosowałem kryterium d'Alemberta i mi wyszło \(\displaystyle{ g = \frac{1}{2} }\) czyli szereg rozbieżny. Czy jest to poprawna odpowiedź?

Nie.

Granica wyszła Ci zła i z tej złej granicy wyciągnąłeś zły wniosek.

JK

Jak dojść do prawidłowego wyniku?
Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ a _{n+1} = \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 ^{n+1}(n+1)! } }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 ^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{2 ^{n}n! }{n ^{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 \cdot 2 ^{n} n!(n+1)} \cdot \frac{2 ^{n}n! }{n ^{n} } = \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} } = \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} }\)

WavyDrip pisze: ↑14 gru 2022, o 12:00 \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 ^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{2 ^{n}n! }{n ^{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 \cdot 2 ^{n} n!(n+1)} \cdot \frac{2 ^{n}n! }{n ^{n} } = \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} } =\red{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} } } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} }\)

A to czerwone cudo to niby skąd?! Na jakiej podstawie ni z gruszki ni z pietruszki wyciągasz pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia (którego tam nie ma)?

Powinno być \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{\left( 1+\frac1 n \right) ^{n} }{2 }=\frac{e}{2}.}\)

JK

PS Nawiasem mówiąc, ten niepoprawnie dopisany pierwiastek też źle policzyłeś, bo \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{(n+1) ^{n} }{2n ^{n} } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{\green{\sqrt[n]{2}}n}.}\)