Matematyka.pl

A czy ty w ogóle wiesz co oznacza zapis `\sum_{n=1}^\infty a_n`?

no tak nie bardzo. Jedyne co mi przychodzi do głowy to to że to szereg

A tak dokładniej? Co to jest szereg?

JK

ciąg polegający na dodawaniu do siebie nieskończonej ilości elementów

Dodano po 1 godzinie 12 minutach 57 sekundach:
Trochę się nad tym zastanowiłem i wydaje mi się że tak:
-postać ogólna kryterium Leibniza to:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1\right) ^{n} a_{n}
}\)
natomiast szereg naprzemienny którego zbieżność mam zbadać wygląda tak:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}
}\)
bierzesz ten szereg
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}
}\)
i podstawiasz pod kryterium Leibniza
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1\right) ^{n} a_{n}
}\)
i z tego szeregu
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}
}\)
po przekształceniu zostaje tyle
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n}
}\)
Po prostu podstawiasz postać mojego szeregu do kryterium Leibniza odpowiednio go przekształcając (pozbywasz się w potędze mojego szeregu zapisu n+1 do n bo tak jest w kryterium Leibniza) i zapisujesz to w postaci ułamka \(\displaystyle{ \frac{\left( -1\right) }{n} }\) bo taka była pierwotna postać zapisu mojego szeregu:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}
}\)
natomiast to \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{n} }\) wzięło się stąd(a przynajmniej tak podejrzewam) wzięło się stąd że tutaj są dwa minusy(przed sumą \(\displaystyle{ - \sum_{n=1}^{\infty} }\) i -1 \(\displaystyle{ -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}}\), które się redukują(jeśli się myle to mnie popraw):
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}
}\)

hutsalo pisze: ↑18 mar 2022, o 22:14 Trochę się nad tym zastanowiłem i wydaje mi się że tak:
-postać ogólna kryterium Leibniza to:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1\right) ^{n} a_{n}
}\)
natomiast szereg naprzemienny którego zbieżność mam zbadać wygląda tak:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}
}\)
bierzesz ten szereg
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}
}\)
i podstawiasz pod kryterium Leibniza
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1\right) ^{n} a_{n}
}\)
i z tego szeregu
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}
}\)
po przekształceniu zostaje tyle
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n}
}\)

Nie jestem pewny, co masz na myśli, ale ja tego nie robiłem.

Wyraźnie napisałem Ci co trzeba zrobić kilka postów temu w tym kolorowym poście. Tak naprawdę zadanie rozwiązał Ci janusz47, więc tu nie chodzi o rozwiązanie zadania, tylko o zrozumienie przedstawionego już rozwiązania.

hutsalo pisze: ↑18 mar 2022, o 22:14 natomiast to \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{n} }\) wzięło się stąd(a przynajmniej tak podejrzewam) wzięło się stąd że tutaj są dwa minusy(przed sumą \(\displaystyle{ - \sum_{n=1}^{\infty} }\) i -1 \(\displaystyle{ -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}}\), które się redukują(jeśli się myle to mnie popraw):
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}
}\)

To też brzmi magicznie. I jest nieprawdziwe.

Widzisz, Twój problem nie polega na tym, że nie potrafisz rozwiązać zadania. Twój problem polega na tym, że nawet nie rozumiesz, na czym polega jego rozwiązanie, co oznacza, że masz bardzo duże braki. Być może to nie Twoja wina, ale sprawia, że próba wytłumaczenia rozwiązania nawet elementarnego zadanie rozrasta się do kilkudziesięciu postów i tak naprawdę niewiele z tego wynika. A ja jestem teraz zbyt zmęczony, by wielokrotnie powtarzać to samo. Byś może kto inny będzie miał więcej zapału i będzie skuteczniejszy.

Jak dla mnie masz dwa wyjścia: albo nauczyć się bez zrozumienia podstawowych schematów, które być może pozwolą zaliczyć Ci ten przedmiot i zapomnieć o nim, albo spróbować uzupełnić braki. To drugie wymagałoby jednak (według mnie) stałej pomocy dobrego korepetytora.

Tak czy inaczej życzę powodzenia.

JK

Mam pytanie. Dlaczego jest tutaj minus?
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n} =
}\)
i dlaczego tutaj:
\(\displaystyle{
-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n} =
}\)
jest już n, a nie ma n+1?

Z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

\(\displaystyle{ (-1)^{n+1} = -1\cdot (-1)^{n} }\)

Ok. A jak z tego:
\(\displaystyle{
\frac{\left( -1\right) ^{n} }{n}
}\)
uzyskać
\(\displaystyle{
\frac{1}{n}
}\)
Wykorzystując kryterium Leibniza:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n} = \frac{\left( -1\right) ^{n} \cdot \left( -1\right) ^{n} }{n} = \frac{\left( -1\right) ^{n+n} }{n} = \frac{\left( -1\right) ^{2n} }{n} = \frac{\left( \left( -1\right) ^{2} \right) ^{n} }{n} = \frac{ 1^{n} }{n} = \frac{1}{n}
}\)

Dodano po 49 minutach 32 sekundach:
o to chodzi? Bo chce wiedzieć jak z tego mojego szeregu uzyskać
\(\displaystyle{
\frac{1}{n}
}\)
to
\(\displaystyle{
\frac{1}{n}
}\)
powstało z tego
\(\displaystyle{
\frac{\left( -1\right) ^{n} }{n}
}\)
i to:
\(\displaystyle{
\frac{\left( -1\right) ^{n} }{n}
}\)
podstawiłem do kryterium Leibniza:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n}
}\)
i teraz chce wiedzieć czy to jest dobrze żeby z całego tego szeregu uzyskać
\(\displaystyle{
\frac{1}{n}
}\)
bo nie ukrywam że mam jeszcze pare przykładów z tego kryterium Leibniza zrobić. A jestem na tym forum żeby się czegoś nauczyć jak tego nie rozumiem

Spróbujmy jeszcze raz przejść do Twojego zadania.

Masz zbadać zbieżność szeregu naprzemiennego

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n} = (-1)^{2}\cdot \frac{1}{1} + (-1)^3 \cdot \frac{1}{2} + (-1)^{4}\cdot \frac{1}{3} + \ \ ...\ \ = 1 -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \ \ ... \ \ (*) }\)

za pomocą kryterium (twierdzenia) Leibniza:

" Jeżeli w szeregu naprzemiennym \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} ( -1)^{n+1} \cdot a_{n} }\) ciąg \(\displaystyle{ (a_{n}) }\) monotonicznie dąży do zera to szereg jest zbieżny"

Z twierdzenia Leibniza wynika, że szereg \(\displaystyle{ (*) }\) jest zbieżny, bo ciąg \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{n} }\) jest ciągiem malejącym zbieżnym do zera.

Jeśli tylko pokażesz, że ciąg \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n} \right) }\) jest ciągiem
1.
- malejącym,

2.
zbieżnym do zera,

to na podstawie kryterium Leibniza szereg jest zbieżny

1.
\(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - n -1}{n \cdot (n+1)} = \frac{-1}{n\cdot (n+1)} < 0 }\)
( bo licznik ułamka jest ujemny, mianownik dodatni) - ciąg malejący

2.
Z twierdzenia granicy ciągu

Założenie:

Niech dana będzie liczba naturalna \(\displaystyle{ \varepsilon >0 }\) i pewna liczba naturalna \(\displaystyle{ k }\) ( na razie nie wiemy jaka mamy ją sami podać) oraz nie dana będzie dowolna liczba naturalna \(\displaystyle{ n > k }\)

Teza:

\(\displaystyle{ \left | \frac{1}{n} - 0 \right | = \left |\frac{1}{n} \right| < \varepsilon }\)

Poszukujemy liczby \(\displaystyle{ k. }\)

Jeśli spełnimy ostatnią nierówność, w której \(\displaystyle{ \varepsilon }\) jest dowolną liczbą dodatnią to \(\displaystyle{ \frac{1}{n} < \varepsilon, }\)

czyli wystarczy spełnić nierówność \(\displaystyle{ n > \frac{1}{\varepsilon}. }\)

Teraz za \(\displaystyle{ k }\) wystarczy wziąć dowolną liczbę naturalną taką, \(\displaystyle{ k > \frac{1}{\varepsilon} }\)

Podsumujmy.

Niech dana będzie dowolna liczba \(\displaystyle{ \varepsilon >0 }\) i dowolna liczba naturalna \(\displaystyle{ k > \frac{1}{\varepsilon} }\) oraz dowolna liczba naturalna większa od \(\displaystyle{ n > k.}\)

Wtedy: \(\displaystyle{ n> k > \frac{1}{\varepsilon}, \ \ n > \frac{1}{\varepsilon}, \ \ \frac{1}{n} < \varepsilon.}\)

Badany szereg na podstawie kryterium Leibniza jest zbieżny.

W punkcie 2. badania zbieżności szeregu do zera nie trzeba korzystać bezpośrednio z definicji granicy ciągu.

Wystarczy obliczyć granicę, korzystając z rachunku granic:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = \left [ \frac{1}{\infty} \right] = 0.}\)

W swoim pierwszym poście badałeś szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left |(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n} \right| }\) twierdząc, że tak badają w podręczniku.

Zauważ, że jeśli zastąpisz każdy wyraz naszego szeregu \(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ \ ...}\) przez wartość bezwględną

tego wyrazu to otrzymamy rozbieżny szereg harmoniczny \(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ \ ... }\)

W rozważaniach o zbieżności szeregów ważne jest pytanie: czy zbieżny szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} }\) jest też zbieżny, jeśli

zastąpimy w nim wszystkie wyrazy przez ich wartości bezwzględne, czy też stanie się szeregiem zbieżnym?

Mamy następujące twierdzenie,

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} }\) jest na pewno zbieżny, gdy zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| }\)

Jeśli wówczas \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = s }\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| = S }\), to \(\displaystyle{ s \leq S.}\)

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, o czym świadczy nasz szereg.

Jeśli zbieżny szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} }\) ma tę własność, że zbieżny jest też szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| }\)

to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} }\) nazywamy bezwzględnie zbieżnym, w przeciwnym przypadku zbieżnym warunkowo

lub w starszych podręcznikach względnie zbieżnym .

Dodano po 13 minutach 33 sekundach:
Dlaczego wykonujesz jakieś przekształcenia wyrazów szeregu skoro masz dany szereg "najprostszy z najprostszych" i masz zbadać jego zbieżność

w oparciu o kryterium Leibnitza ?