Szereg z arc
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Szereg z arc
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \arctg\left( \frac{2}{n^2} \right) = \frac{3}{4} \pi }\).
Ostatnio zmieniony 7 paź 2023, o 23:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Mlodsza
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 34 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Szereg z arc
Wykorzystujac wzor na tangens roznicy katow i zapisujac wyraz ogolny szeregu jako
\(\displaystyle{ \frac {2}{n^2}=\frac{(n+1)-(n-1)}{1+(n+1)(n-1)}}\)
dostajemy rownosc
\(\displaystyle{ \arctan\frac {2}{n^2}=\arctan(n+1)-\arctan(n-1)}\)
czyli fajny szereg teleskopowy, ktory (jak zaraz widac po rozpisaniu) zmierza do \(\displaystyle{ \frac{3}{4}\pi }\)
\(\displaystyle{ \frac {2}{n^2}=\frac{(n+1)-(n-1)}{1+(n+1)(n-1)}}\)
dostajemy rownosc
\(\displaystyle{ \arctan\frac {2}{n^2}=\arctan(n+1)-\arctan(n-1)}\)
czyli fajny szereg teleskopowy, ktory (jak zaraz widac po rozpisaniu) zmierza do \(\displaystyle{ \frac{3}{4}\pi }\)