Napisać szereg Taylora dla funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = \sin 2x}\), \(\displaystyle{ x_{0} = \frac{ \pi }{2}}\)
A więc obliczyłem pochodne:
\(\displaystyle{ f'(x) = 2 \cos 2x \\
f''(x) = -4 \sin 2x \\
f'''(x) = -8 \cos 2x \\
f''''(x) = 16 \sin 2x \\
f'''''(x) = 32 \cos 2x}\)
i nie potrafię dobrać zależności pomiędzy wyrazami tego ciągu (\(\displaystyle{ f^n}\))
Jakieś wskazówki?
Szereg Taylora
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 30 paź 2022, o 17:42
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 1 raz
Szereg Taylora
Ostatnio zmieniony 1 sty 2023, o 15:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Szereg Taylora
Wystarczy uogólnić, zauważając że ta sama postać pochodnej powtarza się co cztery kroki:
\(\displaystyle{ f^{(n)}(x) = \begin{cases}
2^n \sin(2x) & \text{dla } n = 4k, \phantom{\: + \: 1} \, k \in \NN, \\
2^n \cos(2x) & \text{dla } n = 4k+1, \, k \in \NN, \\
-2^n \sin(2x) & \text{dla } n = 4k+2, \, k \in \NN, \\
-2^n \cos(2x) & \text{dla } n = 4k+3, \, k \in \NN,
\end{cases}}\)
lub w zwartej formie
\(\displaystyle{ f^{(n)}(x) = 2^n \sin \left( 2x + \frac{n \pi}{2} \right)}\).
\(\displaystyle{ f^{(n)}(x) = \begin{cases}
2^n \sin(2x) & \text{dla } n = 4k, \phantom{\: + \: 1} \, k \in \NN, \\
2^n \cos(2x) & \text{dla } n = 4k+1, \, k \in \NN, \\
-2^n \sin(2x) & \text{dla } n = 4k+2, \, k \in \NN, \\
-2^n \cos(2x) & \text{dla } n = 4k+3, \, k \in \NN,
\end{cases}}\)
lub w zwartej formie
\(\displaystyle{ f^{(n)}(x) = 2^n \sin \left( 2x + \frac{n \pi}{2} \right)}\).