Szereg

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
densekoszi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 24 cze 2022, o 19:39
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 1 raz

Szereg

Post autor: densekoszi »

Mam problem z pewnym szeregiem. Od czego powinnam zacząć, żeby znaleźć wynik?

\(\displaystyle{ \sum_{s=0}^{\infty} {r-1+s \choose s} (xe^{\alpha})^s }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Szereg

Post autor: a4karo »

Oznaczny `xe^\alpha=t` i niech \(\displaystyle{ f_r(t)=\sum_{s=0}^{\infty} {r-1+s \choose s} t^s}\).

Wtedy
\(\displaystyle{ f_r'(t)=\sum_{s=1}^{\infty} s \frac{(r-1+s)!}{s!(r-1)!} t^{s-1}=\sum_{s=1}^{\infty} r\frac{(r+s-1)!}{(s-1)!r!} t^{s-1}\\
=r\sum_{s=0}^\infty \binom{r+s}{s}t^s=rf_{r+1}(t)}\)

To w połączeniu z faktem, że
\(\displaystyle{ f_1(t)=\frac{1}{1-t}}\) pozwala wyliczyć `f_r` w zamkniętej formie dla każdego `r`
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Szereg

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

Podejrzewam, że \(r\) mogło oznaczać liczbę rzeczywistą, niekoniecznie naturalną.
ODPOWIEDZ