Mam problem z pewnym szeregiem. Od czego powinnam zacząć, żeby znaleźć wynik?
\(\displaystyle{ \sum_{s=0}^{\infty} {r-1+s \choose s} (xe^{\alpha})^s }\)
Szereg
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 24 cze 2022, o 19:39
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Szereg
Oznaczny `xe^\alpha=t` i niech \(\displaystyle{ f_r(t)=\sum_{s=0}^{\infty} {r-1+s \choose s} t^s}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ f_r'(t)=\sum_{s=1}^{\infty} s \frac{(r-1+s)!}{s!(r-1)!} t^{s-1}=\sum_{s=1}^{\infty} r\frac{(r+s-1)!}{(s-1)!r!} t^{s-1}\\
=r\sum_{s=0}^\infty \binom{r+s}{s}t^s=rf_{r+1}(t)}\)
To w połączeniu z faktem, że
\(\displaystyle{ f_1(t)=\frac{1}{1-t}}\) pozwala wyliczyć `f_r` w zamkniętej formie dla każdego `r`
Wtedy
\(\displaystyle{ f_r'(t)=\sum_{s=1}^{\infty} s \frac{(r-1+s)!}{s!(r-1)!} t^{s-1}=\sum_{s=1}^{\infty} r\frac{(r+s-1)!}{(s-1)!r!} t^{s-1}\\
=r\sum_{s=0}^\infty \binom{r+s}{s}t^s=rf_{r+1}(t)}\)
To w połączeniu z faktem, że
\(\displaystyle{ f_1(t)=\frac{1}{1-t}}\) pozwala wyliczyć `f_r` w zamkniętej formie dla każdego `r`
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy