Matematyka.pl

Proszę o wyjaśnienie skąd bierze się poniższa równość:

\(\displaystyle{ \sum_{A \subseteq B}^{} \left( \sum_{C \subseteq A}^{}(-1)^{a-c}f(C) \right)= \sum_{C \subseteq B }\left( \sum_{C \subseteq A \subseteq B}^{} (-1)^{a-c}\right) f(C) ,}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \#A=a,\#B=b,\#C=c,f - funkcja, A,B,C - zbiory\ skonczone.}\)

Moim zdaniem ten zapis jest nieprecyzyjny, bo nie wiadomo po czym jest która suma. Ale można się domyślić, że \(\displaystyle{ B}\) to ustalony zbiór, po lewej pierwsza suma jest po \(\displaystyle{ A}\), a druga po \(\displaystyle{ C}\), natomiast po prawej pierwsza po \(\displaystyle{ C}\), a druga po \(\displaystyle{ A}\).

Wystarczy teraz zauważyć, że w obu przypadkach sumujemy po wszystkich zbiorach \(\displaystyle{ A,C}\) spełniających zależność \(\displaystyle{ C\subseteq A\subseteq B}\). I po lewej zaczynamy od tego, że najpierw bierzemy wszystkie możliwe \(\displaystyle{ A}\) (zawarte w \(\displaystyle{ B}\)), a do każdego \(\displaystyle{ A}\) dobieramy wszystkie możliwe \(\displaystyle{ C}\) (zawarte w \(\displaystyle{ A}\)). A po prawej na odwrót: najpierw bierzemy wszystkie możliwe \(\displaystyle{ C}\) (zawarte w \(\displaystyle{ B}\)) a do nich dobieramy pasujące \(\displaystyle{ A}\).

To taka zamiana kolejności sumowania na zbiorach, odpowiednik przekształcenia typu:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}\sum_{k=0}^{i}a_{ik}= \sum_{0\le k\le i \le n}a_{ik} = \sum_{k=0}^n\sum_{i=k}^n a_{ik}}\)

Q.

Dziękuję! Bardzo mi pomogłeś i rozwiałeś moje wątpliwości.

Qń pewnie już mi nie odpowie ale jak dla mnie to przydałoby się coś więcej o tym napisać
np czy nie ma jakichś założeń do tego przekształcenia
Ciekawy jestem czy mógłbym je wykorzystać w sumie z wątku
funkcje-wielomianowe-f27/wspolczynniki- ... 55044.html