Proszę pomóżcie.
Mam szereg *zespolony* \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} a^{i}b_{i}}\), gdzie \(\displaystyle{ |a|<1}\) i mamy udowodnić, że jest on zbieżny.
\(\displaystyle{ a^{i}}\) to jest szereg geometryczny a sam \(\displaystyle{ b_{i}}\) jest zbieżny, tylko nie wiadomo, czy szereg iloczynu tych ciągów jest zbieżny.
I pytanie czy ja mogę rozbić to na iloczyn dwóch szeregów? Po prostu badać zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^ { \infty } a^{i} \sum_{i=1}^{ \infty } b_{i}}\) i napisać, że to jest to samo? Bo wtedy się to dość mocno upraszcza. Ale nie pamiętam analizy 2...
Szereg iloczynu
-
Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Szereg iloczynu
Tu akurat możesz zbadać zbieżność bezwzględną i jesteś nawet w analizie 1 wtedy. Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ i}\) będzie \(\displaystyle{ |b_i|<1}\), bo skoro szereg \(\displaystyle{ \sum b_i }\) jest zbieżny, to spełnia warunek konieczny, czyli ciąg wyrazów zbiega do zera. I masz szacowanie przez wyrazy zbieżnego szeregu geometrycznego.
Tak, jak napisałaś, to nie możesz rozbić, wiesz, że dzwoni, ale nie wiesz, w którym kościele. Było takie twierdzenie Mertensa, ale ono się tyczyło iloczynu Cauchy'ego szeregów, a tu nie mamy iloczynu Cauchy'ego szeregów \(\displaystyle{ \sum a^i, \ \sum b_i}\), bo on miałby taką postać:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{i=0}^n a^i b_{n-i}}\).
Tak, jak napisałaś, to nie możesz rozbić, wiesz, że dzwoni, ale nie wiesz, w którym kościele. Było takie twierdzenie Mertensa, ale ono się tyczyło iloczynu Cauchy'ego szeregów, a tu nie mamy iloczynu Cauchy'ego szeregów \(\displaystyle{ \sum a^i, \ \sum b_i}\), bo on miałby taką postać:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{i=0}^n a^i b_{n-i}}\).
Ostatnio zmieniony 20 lut 2024, o 23:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: Szereg iloczynu
@Pszemek, przypuszczam, że założenia są trochę słabsze, tzn. zakładamy jedynie, że ciąg \(b_1,b_2,\ldots\) jest zbieżny, a nie, że szereg \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) jest zbieżny
Twój pomysł dalej działa i tak naprawdę wystarczy zakładać, że ciąg \(b_1,b_2,\ldots\) jest ograniczony
Twój pomysł dalej działa i tak naprawdę wystarczy zakładać, że ciąg \(b_1,b_2,\ldots\) jest ograniczony
-
Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Szereg iloczynu
Ej, czekaj, źle spojrzałam faktycznie tam jest \(\displaystyle{ b_{n-i}}\) dla pewnego bliżej nieznanego \(\displaystyle{ n}\) całkowitego.Premislav pisze: ↑20 lut 2024, o 22:25 Tu akurat możesz zbadać zbieżność bezwzględną i jesteś nawet w analizie 1 wtedy. Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ i}\) będzie \(\displaystyle{ |b_i|<1}\), bo skoro szereg \(\displaystyle{ \sum b_i }\) jest zbieżny, to spełnia warunek konieczny, czyli ciąg wyrazów zbiega do zera. I masz szacowanie przez wyrazy zbieżnego szeregu geometrycznego.
Tak, jak napisałaś, to nie możesz rozbić, wiesz, że dzwoni, ale nie wiesz, w którym kościele. Było takie twierdzenie Mertensa, ale ono się tyczyło iloczynu Cauchy'ego szeregów, a tu nie mamy iloczynu Cauchy'ego szeregów \(\displaystyle{ \sum a^i, \ \sum b_i}\), bo on miałby taką postać:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{i=0}^n a^i b_{n-i}}\).